【筆記/模板】割點和橋

ThySecret發表於2024-11-04
筆記

割點

對於一張無向圖 \(G=(V,E)\)，使得 H 是 G 的連通子圖，且不存在 \(F\) 滿足 \(H \subsetneq F \in G\) 且 \(F\) 為連通圖，則稱 \(H\) 是 \(G\) 的一個連通塊/連通分量（connected component），又叫極大連通子圖。

由此，我們可以對割點做出如下定義：

對於一個無向圖，如果把一個點刪除後這個圖的極大連通分量數增加了，那麼這個點就是這個圖的割點（又稱割頂）。

Tarjan

處理過程

與有向圖的強連通分量相似，我們定義如下兩個重要陣列：

  • dfn[]：表示深度優先遍歷圖時節點 \(u\) 被遍歷到的次序，即時間戳。
  • low[]：節點 \(u\) 在不透過父親走過的路的情況下可以到達節點的最小時間戳。

根據割點的定義可知，如果一個節點 \(ver\) 是割點，那麼必然有一個處於其 DFS 序子樹內的節點 \(to\) 使得：

\[low_{to} \ge dfn_{ver} \]

這個意思指的是無論如何走，\(to\) 都無法到達 \(ver\) 以上的節點，不能回到祖先，那麼 \(ver\) 即為割點。

然而當 \(ver\) 作為搜尋的起始點時，由於 \(ver\) 以上沒有父親節點，自然無法判斷其是否是割點，這種方法並不適用，對於這種情況，我們可以直接特判：記錄從 \(ver\) 節點開始可以到達的子節點數量，如果大於 \(1\)，則 \(ver\) 肯定是割點；而如果只有一個兒子的話，刪掉 \(ver\) 不會發生任何影響。

考慮如何在搜尋的過程不斷更新 low[] 陣列：

  1. 當遍歷到當前點 \(ver\) 時，令 \(low_{ver} \gets dfn_{ver}\)。

  2. 遍歷子節點 \(to\) 時，如果 \(to\) 已經被更新過（\(dfn_{to}\) 有值），那麼邊 \(ver \to to\) 為非樹邊，要麼為前向邊（我們不用處理），要麼為返祖邊（令 \(low_{ver} \gets dfn_{to}\)​）。

  3. 否則，由於 \(to\) 沒有被遍歷過，在 \(ver\) 的搜尋子樹當中，我們繼續搜尋 to 的子樹，並將傳遞的值返回，令 \(low_{ver} \gets \min(low_{ver}, low_{to})\)。

虛擬碼如下（摘自 OI Wiki）：

\[\begin{array}{ll} 1 & \textbf{if } v \text{ is a son of } u \\ 2 & \qquad \text{low}_u = \min(\text{low}_u, \text{low}_v) \\ 3 & \textbf{else} \\ 4 & \qquad \text{low}_u = \min(\text{low}_u, \text{dfn}_v) \\ \end{array} \]

注意

由於 low[] 陣列在 DFS 序子樹中具有傳遞性，直接在子樹中傳遞 low[ver] = min(low[ver], low[to]) 是沒有任何問題的。

而如果邊 \(ver \to to\) 是一條返祖邊時，採取 low[ver] = min(low[ver], low[to]) 的更新方式會使得之後的點可以回溯到 \(ver\) 的其他點更新時重複上跳，違反了 low[] 陣列的初始定義，導致出錯。況且 low[] 陣列的核心用處是判斷 \(low_{to} \ge dfn_{ver}\) ，並非求最值，它僅需要找到一個比 \(ver\)​ 更小的點即可，因此 low[ver] = min(low[ver], dfn[to]) 的正確性成立。

詳見：關於有向圖 Tarjan 演算法模板的一些疑問

程式碼

P3388 【模板】割點（割頂）

給出一個 \(n\) 個點，\(m\) 條邊的無向圖，求圖的割點。

void tarjan(int ver, int pre)
{
	dfn[ver] = low[ver] = ++ timestamp;	// 初始化時間戳
	int child = 0;	// 記錄該節點為根有幾個兒子
	for (int i = h[ver]; ~i; i = ne[i])
	{
		int j = e[i];
		if (!dfn[j])
		{
			child ++;
			tarjan(j, ver);
			low[ver] = min(low[ver], low[j]);
			if (ver != pre && low[j] >= dfn[ver] && !flag[ver])
				res ++, flag[ver] = true;	// 找到一個割點
		}
		else if (j != pre)
			low[ver] = min(low[ver], dfn[j]);
	}
	if (ver == pre && child >= 2 && !flag[ver])
		res ++, flag[ver] = true;	// 特判根節點
}

割邊（橋）

與割點的定義類似，如下：

對於一個無向圖，如果刪掉一條邊後圖中的連通分量數增加了，則稱這條邊為橋或者割邊。

Tarjan

處理過程

與 Tarjan 演算法求解割點的方法類似，我們同樣定義兩個陣列 dfn[] 和 low[] 處理，對於一條割邊，以它連線的子樹必然無法透過別的邊到達它上面的點，即對於一條在 DFS 樹上的 \(ver \to to\) 邊 \(edge\)：

\[low_{to} \gt dfn_{ver} \Leftto egde \in \text{Bridge} \]

需要注意的是，在標記一條邊時，同時要標記它的反邊。

程式碼

void tarjan(int ver, int from)
{
	dfn[ver] = low[ver] = ++ timestamp;
    for (int i = h[ver]; ~i; i = ne[i])
    {
		int to = e[i];
        if (to == (from ^ 1)) continue;
       	if (!dfn[to])
        {
			tarjan(to, i);
            low[ver] = min(low[ver], low[to]);
            if (low[to] > dfn[ver])
                bridge[i] = bridge[i ^ 1] = true, ++ ans;
        }
        else low[ver] = min(low[ver], dfn[to]);
        
    }
}

Reference

割點和橋 - OI Wiki (oi-wiki.org)

P3388 【模板】割點（割頂） - 洛谷 | 電腦科學教育新生態 (luogu.com.cn)

圖論基礎 - qAlex_Weiq - 部落格園 (cnblogs.com)

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