洛谷 P3811 【模板】模意義下的乘法逆元
如何求 \(x\ (x>1)\) 在模 \(p\) 意義下的逆元：
做 \(p \div x\) 的帶餘除法，設 \(p=kx+r\ (r<x)\)，其中 \(k=\lfloor\frac{p}{x}\rfloor,\ r=p\bmod x\)，顯然有 \(k<p\)
則有 \(p\equiv kx+r\equiv 0 \pmod p\)
反解 \(x\)，得 \(x\equiv -rk^{-1}\pmod p\)
兩邊取倒數，得 \(x^{-1}\equiv -kr^{-1}\pmod p\)
注意 \(-k < 0\)，不能直接乘，要用 \(-k\equiv p-k\pmod p\)，這樣 \(p-k>0\)，可以直接乘。
這樣我們就得到了 \(x\) 的逆元：
\(x^{-1}\equiv (p-k)r^{-1}\pmod p\)，其中 \(k=\lfloor\frac{p}{x}\rfloor,\ r=p\bmod x\)
由於 \(r<x\)，所以在從小到大遞推 \(x^{-1}\) 的時候，\(r^{-1}\) 肯定已經計算過了。
補一個 \(1^{-1}\equiv 1\pmod p\)
以上。