乘法逆元 模板

說明

• a*x≡1(mod b)，且a與b互質，x為a的逆元
• 對於 a/b(mod p) ,可以求b在mod p 下的逆元，之後 *a(mod p)，為原分數的值
• 常用於大數除法需要取模的情況

擴充套件歐幾里得演算法

• 擴充套件歐幾里得演算法是求整數x、y 使得 ax+by=1
• 單點查詢素數快，在a與p互質而p不是質數也可以使用

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
void Exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(b==0)	x=1,y=0;
	else
	{
		Exgcd(b, a%b, y, x);
		y-=a/b*x;
	}
}
int main()
{
	ll x,y,n,p;
	cin>>n>>p;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		Exgcd(i,p,x,y);
		x=(x%p+p)%p;
		cout<<x<<endl;
	}
	return 0;
}

快速冪（費馬小定理）

• 費馬小定理 ：若pp為素數，aa為正整數，且aa、pp互質。 則有a^(p-1) ≡1(modp)。
• 代入式子化簡得 x≡a^p−2(modp)

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll fpm(ll x,ll power, ll p)
{
	x%=p;
	ll ans=1;
	for(;power;power>>=1)
	{
		if(power&1)
		{
			ans*=x;
			ans%=p;
		}
		x*=x;
		x%=p;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	ll n,p;
	cin>>n>>p;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		ll x = fpm(i, p-2, p); //x為a在mod p意義下的逆元
		cout<<x<<endl;
	}
	return 0;
 } 

線性演算法

• 適用於求一連串的逆元

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=4e6+5;
ll inv[maxn];
int main()
{
	ll n,p;
	cin>>n>>p;
	inv[1]=1;
	cout<<inv[1]<<endl;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		inv[i]=(p - p / i) * inv[p % i] % p;
		printf("%lld\n",inv[i]);
	}
	return 0;
}