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Topics related to measure theory.
略去,詳見測度論專欄中的文章
Expectations
令 \(X\) 為 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) 上的隨機變數,\(\mathbb{E}[X]\) 為其期望。一些期望的特殊表示如下:
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\(X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\) 為簡單函式,即,\(X\) 在有限集 \(\left\{x_{1},\ldots, x_{n} \right\}\) 中取值,則:
\[\mathbb{E}[X] := \sum\limits^{n}_{i=1} x_{i} P(X = x_{i}) \] -
\(X \geq 0\) almost surely,則:
\[\mathbb{E}[X] := \sup \left\{ \mathbb{E}[Y]: ~ Y \mbox{ is simple, } ~ 0 \leq Y \leq X \mbox{ almost surely. } \right\} \]注意,非負隨機變數的期望可能為 \(\infty\)。
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\(\mathbb{E}[X^{+}]\) 或 \(\mathbb{E}[X^{-}]\) 其中之一是有限的,則:
\[\mathbb{E}[X] := \mathbb{E}[X^{+}] - \mathbb{E}[X^{-}] \] -
\(X\) 為一個向量,且 \(\mathbb{E}[|X|] < \infty\),則:
\[\mathbb{E}\Big[\left(X_{1}, \ldots, X_{d}\right)\Big] := \Big( \mathbb{E}[X_{1}], \ldots, \mathbb{E}[X_{d}] \Big) \]
Jensen's Inequality (琴生不等式)
令 \(X\) 為一個隨機變數,\(g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) 為一個凸函式。那麼當 \(X\) 的期望存在時:
若 \(g\) 為嚴格凸函式,則以上不等式可隨之寫為嚴格大於的形式(除非 \(X\) 取常數值)。
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注(Convex function):
函式 \(f: X \rightarrow \mathbb{R}\) 稱作一個凸函式,如果:
\[\forall ~ t \in [0, ~ 1]: ~ \forall ~ x_{1}, x_{2} \in X: ~ f\Big( tx_{1} + (1-t) x_{2} \Big) \leq t\cdot f(t x_{1}) + (1-t) \cdot f(x_{2}) \]
Self-Financing Condition
A self-financing strategy is defined as a consumption stream \((c_{t})_{t\geq 0}\) which follows:
Numeraire (計價單位)
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\((\eta_t)_{t\geq 0}\) 為 previsible process.
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\(\eta_{t} \cdot P_{t} > 0\) almost surely, i.e., \(P(\eta_t \cdot P_{t} > 0) = 1\).
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\((\eta_{t})_{t\geq 0}\) 滿足 self-financing condition, i.e.,
\[(\eta_{t} - \eta_{t+1}) \cdot P_{t} = 0 \qquad \quad \mbox{for } \forall t\geq 0 \]這實際上意味著:
\[\eta_{t} \cdot P_{t} = \eta_{t+1} \cdot P_{t} \qquad \qquad \text{for } ~ \forall t \geq 0 \]注意,以上式子中兩側的 \(P_{t}\) 不能隨手約去,因為等式兩邊是兩個向量的內積運算。
Numeraire Asset
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A numeraire asset is an asset with strictly positive price.
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若 asset \(i\) 為一個 numeraire asset,那麼對於 \(\forall t \geq 0\),定義 constant portfolio \(\eta\):
\[\eta_{t}^{j} = \begin{cases} 1 \qquad \text{if } j = i\\ 0 \qquad \text{otherwise} \end{cases} \]為一個 numeraire portfolio。
Investment-Consumption Strategy
其中 \(x\) 為初始財富。
Terminal Consumption Strategy
其中 \(H\) 為 previsible process,non-random \(T > 0\) 使得以上 holds almost surely。
Pure Investment Strategy
對於 \(\forall t \geq 0\),每一期持倉 \(H_{t}\),但將每一期的 consumption \(c_{t}\) 不用於消費,而是用於投資 numeraire portfolio \(\eta_{t}\)。
Theorem. 區域性鞅 \(\rightarrow\) 鞅的充分條件 (local martingales to true martingales: sufficient condition)
令 \(X\) 為一個離散或連續的 local martingale,令過程 \((Y_{t})_{t\geq 0}\) 滿足:
若 \(\mathbb{E}[Y_{t}] \leq \infty, ~ \mbox{ for } ~ \forall ~ t \geq 0\),那麼 \(X\) 為一個 true martingale。
證明:
由於 \((X_{t})_{t\leq 0}\) 為一個 local martingale,根據定義存在一個 stopping time series (localizing sequence):\((\tau_{N})_{N\geq0}\),滿足 \(\lim \limits_{N \rightarrow \infty} \tau_{N} = \infty\),使得對於 \(\forall ~ N \geq 0\),\(\Big(X^{\tau_{N}}_{t}\Big)_{t \geq 0} = \Big(X_{t \land \tau_{N}}\Big)_{t\geq 0}\) 為 true martingale。
首先證明 \((X_{t})_{t\geq 0}\) 可積。對於任意 \(t \geq 0\),取任意 \(T \geq t\),根據條件:\(|X_{t}| \leq Y_{T}\) almost surely。又因為:\(\forall ~ T \geq 0: ~ \mathbb{E}[Y_{T}] < \infty\),那麼:
因此 \((X_{t})_{t\geq 0}\) integrable。
將 \(X_{t\land\tau_{N}}\) 視作一個下標為 \(N\) 的序列,即:
注意到 \(X_{t\land \tau_{N}} = X_{\min(t, \tau_{N})} \longrightarrow X_{t}\) almost surely with \(N \longrightarrow \infty\),即:
這是因為 \(\lim \limits_{N \rightarrow \infty} \tau_{N} = \infty\),\(t \land \tau_{N} = \min(t, \tau_{N})\) 自然隨 \(N\) 增大而收斂於 \(t\)。
所以對於 \(\forall ~ 0 \leq s \leq t\):
因此:local martingale \((X_{t})_{t\geq 0}\) 在給定的條件下也為一個 true martingale。
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注意:
以上帶星號的那一步推導中,鞅 \(\Big(X_{t\land\tau_{N}}\Big)_{t\geq 0}\) 的下標依然是 \(t\),儘管現在複合為 \(t\land \tau_{N}\)。因此在這一步中我們只需將 \(t\) 替換為 \(s\) 即可。
Corollary.
假設 \(X\) 一個 離散 時間 local martingale,使對於 \(\forall ~ t \geq 0: ~ \mathbb{E}[|X_{t}|] < \infty\),那麼 \(X\) 是一個 true martingale。
證明:
令 \(Y_{t} = |X_{0}| + |X_{1}| + \cdots + |X_{t}|\)。Trivially:
並且由於:\(\forall ~ t \geq 0: ~ \mathbb{E}[|X_{t}|] < \infty\),那麼:
所以 \((Y_{t})_{t\geq 0}\) 可積,並且此時 \((X_{t})_{t \leq 0}\) 和 \((Y_{t})_{t\geq 0}\) 恰滿足上述 Sufficient Condition,因此 \((X_{t})_{t\geq 0}\) 為一個 true martingale。
Supermartingale and Submartingale (上鞅與下鞅)
上鞅(Supermartingale)
相關於 filtration \(\mathcal{\left\{ F_{t} \right\}}_{t\geq 0}\) 的一個 supermartingale(上鞅)是一個 adapted stochastic process \((U_{t})_{t\geq 0}\),滿足以下性質:
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(Integrability)
\[\forall ~ t \geq 0: ~ \mathbb{E}\big[\left| U_{t} \right|\big] < \infty \] -
(Decrease in average)
\[\forall ~ 0 \leq s \leq t: ~ \mathbb{E}\big[U_{t} ~ | ~ \mathcal{F}_{s}\big] \leq U_{s} \]
下鞅(Submartingale)
相關於 filtration \(\mathcal{\left\{ F_{t} \right\}}_{t\geq 0}\) 的一個 submartingale(下鞅)是一個 adapted stochastic process \((V_{t})_{t\geq 0}\),滿足以下性質:
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(Integrability)
\[\forall ~ t \geq 0: ~ \mathbb{E}\big[ | V_{t} | \big] < \infty \] -
(Increase in average)
\[\forall ~ 0 \leq s \leq t: ~ \mathbb{E}\big[V_{t} ~ | ~ \mathcal{F}_{s}\big] \geq V_{s} \]
鞅、上鞅、下鞅
A martingale is a stochastic process that is both a supermartingale and a submartingale.
Theorem.
假設 \(X\) 是一個連續或離散時間上的 local martingale。如果 \(X_{t} \geq 0\) 對於 \(\forall ~ t \geq 0\) 都成立,那麼 \(X\) 是一個 supermartingale(上鞅)。
證明:
令 \((\tau_{N})_{N\geq 0}\) 為相關於 local martingale \((X_{t})_{t\geq 0}\) 的 localizing sequence,即:
首先證明 \((X_{t})_{t \geq 0 }\) 可積。由 Fatou's Lemma:
在條件期望上運用 Fatou's Lemma,對於 \(\forall ~ 0 \leq s \leq t:\)
因此 \((X_{t})_{t\geq 0}\) 為一個 supermartingale(上鞅)。
Corollary.
如果 \((X_{t})_{t\geq 0}\) 是一個離散時間 local martingale,且對於任意 $ t \geq 0$,有 \(X_{t} \geq 0\) almost surely,那麼 \((X_{t})_{t\geq 0}\) 是一個 true martingale。
證明:
透過上述 Theorem,我們有:
由於 \(X\) 是可積的,透過上一條 Corollary 可以得出 \((X_{t})_{t\geq 0}\) 是一個 martingale 的結論。
Theorem.
假設:
其中,\(K\) 是一個 previsible process,\(M\) 是一個 local martingale,\(X_{0}\) 是一個常數。
如果對於某些非隨機的 \(T > 0\),有:\(X_{T} \geq 0\) almost surely,那麼 \((X_{t})_{0\leq t \leq T}\) 是一個 true martingale。
證明:
略。(太長了,以後有機會補上。)
隨機貼現因子(Stochastic Discount Factor / Pricing Kernel / State Price Density)
在一個沒有股息的市場中,在時刻 \(s\) 和 \(t\) 間(\(0 \leq s < t\))的隨機貼現因子是一個 adapted positive \(\mathcal{F}_{t}-\) measurable random variable \(\rho_{s,t}\), 使得:
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令 \(Y\) 為一個 martingale deflator(i.e. \(\forall 0 \leq s < t: ~ \mathbb{E}[Y_{t}P_{t} ~ | ~ \mathcal{F}_{s}] = Y_{s}P_{s}\)),令 \(\rho_{s,t} = \frac{Y_{t}}{Y_{s}}\),若 \(\rho_{s,t}P_{t}\) 可積,那麼 \(\rho_{s,t}\) 為時間 \(s\) 與 \(t\) 間的 pricing kernel。
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證明:
對於 positivity,由於 \(Y\) 為 martingale deflator,則 \(\forall t \geq 0: ~ Y_{t} > 0\),所以 \(\rho_{s,t} = \frac{Y_{t}}{Y_{s}} > 0\),並且:
\[\begin{align*} \mathbb{E} \big[ \rho_{s,t} P_{t} ~ | ~ \mathcal{F}_{s} \big] & = \mathbb{E} \Big[ \frac{Y_{t}}{Y_{s}} P_{t} ~ | ~ \mathcal{F}_{s} \Big] \\ & = \frac{1}{Y_{s}} \mathbb{E} \big[ Y_{t}P_{t} ~ | ~ \mathcal{F}_{s} \big] \\ & = \frac{1}{Y_{s}} \cdot Y_{s} P_{s} \\ & = P_{s} \end{align*} \]因此 \(\rho_{s,t}\) 為一個 pricing kernel。
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相反地,對於 \(s\geq 0\),假設 \(\rho_{s, s+1}\) 為 時間 \(s\) 與 \(s+1\) 間的 pricing kernel,令 \(Y_{t} = \rho_{0,1} \rho_{1,2} \ldots \rho_{t-1, t}\),且 \(YP\) 可積,那麼 \(Y\) 為一個 martingale deflator。
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證明:
對於 \(\forall t \geq 0\),由於 pricing kernel 為正隨機變數,則 \(Y_{t} = \rho_{0,1} \rho_{1,2} \ldots \rho_{t-1, t} > 0\),並且:
\[\begin{align*} \mathbb{E} \big[Y_{t+1}P_{t+1} ~ \big| ~ \mathcal{F}_{t} \big] & = \mathbb{E} \big[\rho_{0,1} \rho_{1,2} \ldots \rho_{t-1, t} \rho_{t, t+1} \cdot P_{t+1} ~ \big| ~ \mathcal{F}_{t} \big] \\ & = \rho_{0,1} \rho_{1,2} \ldots \rho_{t-1, t} \cdot \mathbb{E} \big[\rho_{t, t+1} \cdot P_{t+1} ~ \big| ~ \mathcal{F}_{t} \big] \qquad \text{(adaptness)}\\ & = Y_{t} \cdot P_{t} \qquad \text{(by definition)} \end{align*} \]因此,\((Y_{t})_{t\geq 0}\) 為一個 martingale deflator。
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Proposition.
考慮存在一個 numeraire \(\eta\) 的市場,且令:\(N_{t} = \eta_{t} \cdot P_{t} \quad \forall t \geq 0\)。令 \(H\) 為一個 investment-consumption strategy,即,\(H\) 的 consumption stream 定義為:
其中 \(x\) 為初始財富。令:
那麼,\(K\) 為一個 pure-investment strategy from the same initial wealth \(x\)。
特殊地,當且僅當 \(K\) 為一個 terminal-consumption arbitrage 時,\(H\) 為一個 arbitrage。
證明:
因此,對於 \(\forall t \geq 0\),有:
由假設:\((\eta_{t})_{t\geq 0}\) 為 pure-investment strategy,則 \((K_{t})_{t\geq 0}\) 亦為 pure-investment strategy。
假設對於 non-random \(T\),有:\(c_{T} = H_{T}\cdot P_{T}\),那麼:
則:當且僅當 某些 \(c_{t} ~ (0 \leq t \leq T)\) 取值為 strictly positive 時, 等式左側 \(K_{T} \cdot P_{T}\) 為 strictly positive。
Lemma. (Bayes formula; from homework 5.)
令 \(\mathbb{P}\) 和 \(\mathbb{Q}\) 為定義在 \((\Omega, ~ \mathcal{F})\) 上的 equivalent probability measures,令 Radon - Nikodym derivative: \(Z = \frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}\),令 \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}\) 為一個 \(\sigma-\)field。那麼:
證明:
令 \(Y = \frac{\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[ZX ~ | ~ \mathcal{G}]}{\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[Z ~ | ~ \mathcal{G}]}\),欲證:\(\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\big[ X ~ \big| ~ \mathcal{G} \big] = Y\),這等價於:
對於 \(\forall G \in \mathcal{G}\):
由 Radon-Nikodym derivative \(Z = \frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}} \implies d\mathbb{Q} = Z \cdot d\mathbb{P}\):
因此,目標等價於證明:對於 \(\forall G \in \mathcal{G}\),有:
注意到 \(Y = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\big[ X ~ \big| ~ \mathcal{G} \big]\) 為 \(\mathcal{G}-\)measurable,那麼RHS:
證畢。