2022-07-19：f(i) : i的所有因子，每個因子都平方之後，累加起來。 比如f(10) = 1平方

2022-07-19：f(i) : i的所有因子，每個因子都平方之後，累加起來。
比如f(10) = 1平方 + 2平方 + 5平方 + 10平方 = 1 + 4 + 25 + 100 = 130。
給定一個數n，求f(1) + f(2) + .. + f(n)。
n <= 10的9次方。
O(n)的方法都會超時！低於它的！
O(根號N)的方法，就過了，一個思路。
O(log N)的方法，
來自藍橋杯練習題。

答案2022-07-19：

觀察表，二分法。
時間複雜度O(開平方根N + 開平方根N * logN)。

程式碼用rust編寫。程式碼如下：

fn main() {
    println!("測試開始");
    for i in 1..1000 {
        if sum1(i) != sum2(i) {
            println!("出錯了{}", i);
        }
    }
    println!("測試結束");
}

// 暴力方法
fn sum1(n: i64) -> i64 {
    let mut cnt: Vec<i64> = vec![];
    for _ in 0..n + 1 {
        cnt.push(0);
    }
    for num in 1..=n {
        for j in 1..=num {
            if num % j == 0 {
                cnt[j as usize] += 1;
            }
        }
    }
    let mut ans = 0;
    for i in 1..=n {
        ans += i * i * cnt[i as usize];
    }
    return ans;
}

fn get_sqrt(n: i64) -> i64 {
    let mut l: i64 = 1;
    let mut r = n;
    let mut m: i64;
    let mut mm: i64;
    let mut ans = 1;
    while l <= r {
        m = l + ((r - l) >> 1);
        mm = m * m;
        if mm == n {
            return m;
        } else if mm < n {
            ans = m;
            l = m + 1;
        } else {
            r = m - 1;
        }
    }
    return ans;
}

// 正式方法
// 時間複雜度O(開平方根N + 開平方根N * logN)
fn sum2(n: i64) -> i64 {
    // 100 -> 10
    // 200 -> 14
    let sqrt = get_sqrt(n);
    let mut ans = 0;
    for i in 1..=sqrt {
        ans += i * i * (n / i);
    }
    // 後半段
    // 給你一個個數，二分出幾個因子，處在這個個數上！
    // 由最大個數(根號N), 開始二分
    let mut k = n / (sqrt + 1);
    while k >= 1 {
        ans += sum_of_limit_number(n, k);
        k -= 1;
    }
    return ans;
}

// 平方和公式n(n+1)(2n+1)/6
fn sum_of_limit_number(v: i64, n: i64) -> i64 {
    let r = cover(v, n);
    let l = cover(v, n + 1);
    return ((r * (r + 1) * ((r << 1) + 1) - l * (l + 1) * ((l << 1) + 1)) * n) / 6;
}

fn cover(v: i64, n: i64) -> i64 {
    let mut l = 1;
    let mut r = v;
    let mut m;
    let mut ans = 0;
    while l <= r {
        m = (l + r) / 2;
        if m * n <= v {
            ans = m;
            l = m + 1;
        } else {
            r = m - 1;
        }
    }
    return ans;
}

執行結果如下：

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左神java程式碼

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