目錄
- 一. 引言
- 二. 塑性應變增量推導
- 三. 彈塑性剛度矩陣推導
- 四. 塑性模量理解
- 五. 小結
一. 引言
彈塑性理論定義材料在荷載作用下的變形是彈性變形和塑性變形之和，其中研究塑性變形需要解決三個方面的問題：
①產生塑性變形的起點；
②產生塑性變形的方向；
③產生塑性變形的大小。
在塑性理論中，描述以上三個問題的工具被稱為是塑性理論的三大支柱：屈服條件、流動法則和硬化規律，它們分別被定義為：
①屈服條件是確定開始產生塑性變形的應力條件，屈服函式通常為應力狀態和內變數的函式；
\[f=f\Big(\sigma_{ij},q_n\Big)
\]
②流動法則是確定塑性應變增量方向（勢函式法向）的法則，對於關聯流動準則Q=f；
\[d\varepsilon_{ij}^p=\langle\lambda\rangle\frac{\partial Q}{\partial\sigma_{ij}}
\]
③硬化規律是確定塑性應變増量大小（ 𝑑𝜆 ）的規律，確定硬化規律實質上是要確定硬化參量（等向強化，隨動強化）。
或者可以這樣說，屈服條件確定了塑性變形的起點，流動法則確定塑性變形的方向，硬化規律（確定硬化參量）確定了塑性變形的大小。
二. 塑性應變增量推導
step 1. 應變分解：
\[d\varepsilon_{ij}=d\varepsilon_{ij}^e+d\varepsilon_{ij}^p
\]
step 2. 總應力計算：
\[d\sigma_{ij}=C_{ijkl}d\varepsilon_{ij}^e=C_{ijkl}\left(d\varepsilon_{kl}-d\varepsilon_{kl}^p\right)
\]
step 3. 一致性條件（載入過程中任何時刻，應力點總位於屈服面上）：
\[df=\frac{\partial f}{\partial\sigma_{ij}}d\sigma_{ij}+\frac{\partial f}{\partial q_n}dq_n=0
\]
其中
\[dq_n=\langle\lambda\rangle r_n
\]
\(q_n\)表示材料硬化狀態, 可以是塑性應變的函式 (各向同性硬化/隨動硬化). \(𝑟_𝑛\) 是應力狀態和內變數的函式。
將（4）帶入（5），可得：
\[\frac{\partial f}{\partial\sigma_{ij}}C_{ijkl}\left(d\varepsilon_{kl}-d\varepsilon_{kl}^p\right)+\frac{\partial f}{\partial q_n}\langle\lambda\rangle r_n=0
\]
將（2）帶入（7），可得：
\[\frac{\partial f}{\partial\sigma_{ij}}C_{ijkl}d\varepsilon_{kl}-\frac{\partial f}{\partial\sigma_{ij}}C_{ijkl}\langle\lambda\rangle\frac{\partial Q}{\partial\sigma_{kl}}+\frac{\partial f}{\partial q_n}\langle\lambda\rangle r_n=0
\]
求得塑性應變增量：
\[\lambda
=\frac{\frac{\partial f}{\partial\sigma_{ij}}C_{ijkl}d\varepsilon_{kl}}{\frac{\partial f}{\partial\sigma_{ab}}C_{abcd}\frac{\partial Q}{\partial\sigma_{cd}}-\boxed{\frac{\partial f}{\partial q_{n}}r_{n}}}
=\frac{\frac{\partial f}{\partial\sigma_{ij}}C_{ijkl}d\varepsilon_{kl}}
{\frac{\partial f}{\partial\sigma_{ab}}C_{abcd}\frac{\partial Q}{\partial\sigma_{cd}}+\boxed{K_{p}}}
\]
三. 彈塑性剛度矩陣推導
將（9）帶入（4），並化簡，得到應力增量與應變增量的關係：
\[\begin{aligned}
&d\sigma_{ij}=C_{ijkl}\left(d\varepsilon_{kl}-\langle\lambda\rangle\frac{\partial Q}{\partial\sigma_{kl}}\right) \\
&C_{ijkl}\lambda\frac{\partial Q}{\partial\sigma_{kl}}=C_{ijmm}\frac{\partial Q}{\partial\sigma_{nm}}\frac{\frac{\partial f}{\partial\sigma_{pq}}C_{pqkl}d\varepsilon_{kl}}{\frac{\partial f}{\partial\sigma_{ab}}C_{abcd}\frac{\partial Q}{\partial\sigma_{cd}}-\frac{\partial f}{\partial q_{n}}r_{n}}=\frac{\left(C_{ijmm}\frac{\partial Q}{\partial\sigma_{nm}}\right)\left(\frac{\partial f}{\partial\sigma_{pq}}C_{pqkl}\right)d\varepsilon_{kl}}{\frac{\partial f}{\partial\sigma_{ab}}C_{abcd}\frac{\partial Q}{\partial\sigma_{cd}}+K_{p}} \\
&d\sigma_{ij}=C_{ijkl}\Bigg(d\varepsilon_{kl}-\langle\lambda\rangle\frac{\partial Q}{\partial\sigma_{kl}}\Bigg) \\
&=C_{ijkl}d\varepsilon_{kl}-\frac{\left(C_{ijmn}\frac{\partial Q}{\partial\sigma_{nm}}\right)\left(\frac{\partial f}{\partial\sigma_{pq}}C_{pqkl}\right)}{\frac{\partial f}{\partial\sigma_{ab}}C_{abcd}\frac{\partial Q}{\partial\sigma_{cd}}+K_{p}}d\varepsilon_{kl} \\
&=\left\{C_{ijkl}-\frac{\left(C_{ijmm}\frac{\partial Q}{\partial\sigma_{nm}}\right)\left(\frac{\partial f}{\partial\sigma_{pq}}C_{pqkl}\right)}{\frac{\partial f}{\partial\sigma_{ab}}C_{abcd}\frac{\partial Q}{\partial\sigma_{cd}}+K_{p}}\right\}d\varepsilon_{kl}&
\end{aligned}
\]
四. 塑性模量理解
式（9）定義了塑性模量：
\[K_p=-\frac{\partial f}{\partial q_n}r_n
\]
事實上，塑性模量的定義可以從一致性條件出發，帶入（6），移項，即：
\[\begin{aligned}
&df=\frac{\partial f}{\partial\sigma_{ij}}d\sigma_{ij}+\frac{\partial f}{\partial q_{n}}dq_{n}=\frac{\partial f}{\partial\sigma_{ij}}d\sigma_{ij}+\frac{\partial f}{\partial q_{n}} \lambda dr_{n}=0 \\
&\frac{\frac{\partial f}{\partial\sigma_{ij}}d\sigma_{ij}}{\lambda}+\frac{\partial f}{\partial q_{n}}dr_{n}=0 \\
&K_{p}=\frac{\frac{\partial f}{\partial\sigma_{ij}}d\sigma_{ij}}{\lambda}=-\frac{\partial f}{\partial q_{n}}dr_{n}
\end{aligned}
\]
因此\(K_p\)可以理解為總應力增量在法向上的投影除以塑性應變增量，如下圖所示：
塑性模量是一個標量（方向沿屈服面法向），（注意儘管屈服面法向可能不是單位張量，總體上仍然可以反映塑性應變大小，只相差一個標量係數）
五. 小結
1）塑性力學核心三大概念；
2）透過一致性方程求解塑性應變增量，最終推導彈塑性剛度矩陣；
3）塑性模量的理解；
參考文獻：
塑性力學本構模型基本框架 - 知乎 (zhihu.com)