- 3.1 幾個基本概念
- 3.3 任意斜截面上的應力
- 3.4 主應力及應力（張量）不變數
- 3.5 最大、最小正應力和最大剪應力
3.1 幾個基本概念
• 外力
外力指的是我們熟知的機械力、電磁力等，物體因外力作用而變形。作用於物體的外力可分為體積力和表面 力，它們分別簡稱為體力和麵力。
體力是分佈在物體體積內的力，例如重力和慣性力。一般來說，物體內各點所受體力是各不相同的。
面力 是分佈在物體表面上的力，如流體壓力和接觸力等。物體內各點所受面力一般也是各不相同的。
為了表述物體表面某一點 P 所受面力的大小和方向，取包含點 P 的一微小表面區域，它的面積為\(\Delta s\) 。設作 用於上的面力為$ \overrightarrow {\Delta T} $ , 則稱 $ \overrightarrow {\Delta T} / \Delta S$為 面力的平均集度 。設面力為連續分佈，命 無限減小而趨於點 P P ，則 $ \overrightarrow {\Delta T} / \Delta S$ 將趨於一極限，即
\[\vec{P}=\lim_{\Delta S\to0}\frac{\overline{\Delta T}}{\Delta S}=T_{i}\vec{i}_{i}=T_{x}\vec{i}+T_{y}\vec{j}+T_{z}\vec{k}
\]
式中 \(T_x,T_y,T_z\) 為面力沿三個座標軸分量。規定面力沿三個座標軸分量與座標軸的正向相同時為正，反之為 負。
物體由於外力的作用，內部將產生抵抗外力的力，即 內力 。通常用 應力 這個概念來描述內力的大小。
物體內一點 P 的 全應力 定義為：
\[\vec{p}=\lim_{\Delta S\to0}\frac{\overrightarrow{\Delta P}}{\Delta S}
\]
通常，我們 將全應力分解成兩個分量 ：一個是沿截面法線 v 方向，該方向的分量稱為 正應力 並用\(\sigma\) 表示； 另 一個是位於截面上的分量，稱為 剪應力( ( 或切應力) ) 用\(\tau\)表示。
3.2 一點的應力狀態與應力張量• 點 P 的應力與透過該點的截面方位相關，透過點 P 的截面不同，按定義所確 定的應力也將不同。要確定點 P 的應力，需要確定過點 P 所有截面上的應力。• 一點的應力狀態就是指透過物 體內一點的所有截面上的應力集合。
為確定一點的應力狀態，透過該點擷取一個微小的正六面體，研究表明：只要該正六面體六個面上的應力已 知，過該點其它任意方向截面上的應力均可以確定下來。
正應力和剪應力的表示，例如\(\sigma_x\tau_{xy}\)
正應力與剪應力的正負號規定 ：
如果某一個截面的外法線方向與座標軸的正方向一致，這個截面稱為 正面 ， 正面上的應力正負號規定為與坐 標軸的正方向一致時為正，反之為負；相反，如果某一個截面的外法線方向與座標軸的正方向反向，這個截 面稱為 負面 ， 負面上的應力正負號規定。
描述一點應力狀態的九個應力分量
\[\sigma_x,\quad\tau_{xy},\quad\tau_{xz},\quad\sigma_y,\quad\tau_{yx},\quad\tau_{yz},\quad\sigma_z,\quad\tau_{zx},\quad\tau_{zy}
\]
可用矩陣形式表達為
\[\begin{bmatrix}\sigma_x&\tau_{xy}&\tau_{xz}\\\tau_{yx}&\sigma_y&\tau_{yz}\\\tau_{zx}&\tau_{zy}&\sigma_z\end{bmatrix} \implies \begin{bmatrix}\sigma_{xx}&\tau_{xy}&\tau_{xz}\\\tau_{yx}&\sigma_{yy}&\tau_{yz}\\\tau_{zx}&\tau_{zy}&\sigma_{zz}\end{bmatrix} \implies \begin{bmatrix}\sigma_{xx}&\sigma_{xy}&\sigma_{xz}\\\sigma_{yx}&\sigma_{yy}&\sigma_{yz}\\\sigma_{zx}&\sigma_{zy}&\sigma_{zz}\end{bmatrix}
\]
採用張量下標記號，可表示成
\[\left(\sigma_{ij}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\sigma_{11}&\sigma_{12}&\sigma_{13}\\\sigma_{21}&\sigma_{22}&\sigma_{23}\\\sigma_{31}&\sigma_{32}&\sigma_{33}\end{array}\right)
\]
研究表明，\(\sigma_{ij}\) 的九個分量構成二階張量，我們稱之為應力張量
六個剪應力並不都是獨立的，它們之間具有一定的互等關係。
\[\tau_{yz}=\tau_{zy}\quad\tau_{zx}=\tau_{xz}\quad\tau_{xy}=\tau_{yx}
\]
剪應力之間的這種兩兩相等的關係，稱為剪應力互等定理。
3.3 任意斜截面上的應力
設透過點 P 並平行於座標面的三個微分面上的應力為巳知，現在來確定透過該點的某一斜微分面上的應力點 P 附近取一斜微分面 abc ，其外法線 v 與各座標軸的方向餘弦為：
\[\cos(\vec{\nu},x)=l\\\cos(\vec{\nu},y)=m\\\cos(\vec{\nu},z)=n
\]
列出 x 、y 和 z 三個方向上的平衡方程可得
\[T_{x}=\sigma_{x}l+\tau_{xy}m+\tau_{xz}n\\T_{y}=\tau_{yx}l+\sigma_{y}m+\tau_{yz}n\\T_{x}=\tau_{zx}l+\tau_{zy}m+\sigma_{z}n
\]
採用張量下標記號法，有
\[T_i=\sigma_{ij}l_j
\]
根據張量判別定理，即知 \(\sigma_{ij}\) 為二階張量.
將\(T_x\)、\(T_y\)和\(T_z\)投影到法線\(\nu\)上，可得斜微分面上的正應力為：
\[\begin{aligned}
&\sigma_\nu=T_xl+T_ym+T_zn \\
&=\sigma_{x}l^{2}+\sigma_{y}m^{2}+\sigma_{z}n^{2}+2\tau_{xy}lm+2\tau_{yz}mn+2\tau_{zx}nl
\end{aligned}
\]
斜微分面上的剪應力由下式求出
\[\tau_\nu^2=(T_x^2+T_y^2+T_z^2)-\sigma_\nu^2
\]
3.4 主應力及應力（張量）不變數
若經過物體內某點的某一個斜截面上的剪應力等於零，則該斜截面上的正應力稱為該點的一個主應力，該面稱為該點的一個應力主面，該面的法線方向稱為該點的一個應力主向。
現在取物體內任意一點例如點 P 來研究。設點 P 有一個應力主面存在，則在該應力主面上剪應力為零，該面上的全應力就應等於該面上的正應力，用\(\sigma\) 表示該面上的正應力，有：
\[\begin{aligned}
&\sigma l=\sigma_xl+\tau_{xy}m+\tau_{xz}n \\
&\sigma m=\tau_{yx}l+\sigma_{y}m+\tau_{yz}n \\
&\sigma n=\tau_{zx}l+\tau_{zy}m+\sigma_zn
\end{aligned}
\]
\[\boxed{T_{x}=\sigma_{x}l+\tau_{xy}m+\tau_{xz}n\\T_{y}=\tau_{yx}l+\sigma_{y}m+\tau_{yz}n\\T_{x}=\tau_{zx}l+\tau_{zy}m+\sigma_{z}n}
\]
用張量下標記號表示，上式可表示成：
\[\begin{aligned}(\sigma_{ij}-\sigma\delta_{ij})l_j&=0&\text{(a)}\\\textbf{另有:}\quad l_il_i&=1&\text{(b)}\end{aligned}
\]
滿足式 (b) 的條件，求式 (a) 的非全零解，則式 (a)的係數行列式必須等於零，即
\[\left.\left|\begin{array}{ccc}\sigma_{11}-\sigma&\sigma_{21}&\sigma_{31}\\\sigma_{12}&\sigma_{22}-\sigma&\sigma_{32}\\\sigma_{13}&\sigma_{23}&\sigma_{33}-\sigma\end{array}\right.\right|=0
\]
展開上式得的三次方程：
\[\sigma^3-J_1\sigma^2-J_2\sigma-J_3=0
\]
\[\begin{aligned}
&J_{1} =\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}=\sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z}=\sigma_{kk} \\
&J_{2} =-\sigma_x\sigma_y-\sigma_y\sigma_z-\sigma_z\sigma_x+\tau_{xy}^2+\tau_y^2 =-\begin{vmatrix}\sigma_{11}&\sigma_{12}\\\sigma_{21}&\sigma_{22}\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}\sigma_{22}&\sigma_{23}\\\sigma_{32}&\sigma_{33}\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}\sigma_{33}&\sigma_{31}\\\sigma_{13}&\sigma_{11}\end{vmatrix} & \\
&=-\frac12(\sigma_{ii}\sigma_{kk}-\sigma_{ik}\sigma_{ki}) \\
&J_{3} =\begin{vmatrix}\sigma_{11}&\sigma_{12}&\sigma_{13}\\
\sigma_{21}&\sigma_{22}&\sigma_{23}\\
\sigma_{31}&\sigma_{32}&\sigma_{33}\end{vmatrix}=\epsilon_{ijk} \sigma_{i1}\sigma_{j2}\sigma_{k3}
\end{aligned}
\]
\(J_{1}、J_{2}\)和\(J_{2}\)為應力或應力張量的三個不變數
研究表明，一點有三個主應力，對應也就有三個應力主面和三個應力主向。用\(\sigma_1\)、\(\sigma_2\)和\(\sigma_3\)表示三個主應力，\(\vec{n}_1\) 、\(\vec{n}_2\) 和\(\vec{n}_3\)表示它們對應的主方向，有：
(1) 當\(\sigma_1\neq\sigma_2\neq\sigma_3\)時，\(\vec{n}_1\perp\vec{n}_2,\vec{n}_2\perp\vec{n}_3,\vec{n}_3\perp\vec{n}_1\)
(2) 當有一個重根時，如 \(\sigma _1= \sigma _2\neq \sigma _3\) ,則法線與 \(\vec{n}_3\)垂直的平面上的所有正應力方向均為應力主方向，且所有這些平面上正應力或主應力\(\sigma\) 為一常量，\(\sigma=\sigma_1=\sigma_2;\)
(3)當\(\sigma_1=\sigma_2=\sigma_3\),任意方向均為主方向，這種應力狀態稱為球應力或靜水應力狀態。
3.5 最大、最小正應力和最大剪應力
將座標軸的方向設定成與一點的三個主應力方向相同,三個主應力用\(\sigma_1、\sigma_2\)、和 \(\sigma_3\) 表示，軸x對應 \(\sigma_1\), 軸y對應 \(\sigma_2\),軸z對應 $\sigma_3 $,
\[
\]
參考文獻：