結構動力學教材-學習筆記

參考教材:

• 振動力學,(劉延柱,陳文良,陳立群),出版日期1998.10
• 結構動力學,克拉夫,第二版

阻尼效能是我碩士課題的主要工作,著眼點在:如何描述符合材料結構的阻尼?什麼因素影響了結構的阻尼效能大小?怎麼表示阻尼效能的大小?如何計算阻尼效能?

阻尼模型

• 梁超鋒. 混凝土材料與結構阻尼測試、增強與表達[D]. 黑龍江:哈爾濱工業大學,2005. DOI:10.7666/d.Y820173.

動力學教材筆記

機構動力學概述

結構動力學是研究任何給定型別的結構在承受任意動力荷載時應力和變位的分析方法.動力載荷意為:大小、方向和作用點隨時間變化的任意荷載.

分類:

• 非隨機:荷變化規律明確,但可以用統計方法進行分析
  • 週期性
  • 非週期性
• 隨機:載荷變化規律不明顯,但可以用統計方法進行分析.

動力學問題和靜力學問題的區別:

• 靜力學的解是單一解,而動力學的解是與載荷,時間有關的一系列解.
• 動力學分析時,由於載荷與時間相關P=p(t),分析時還需要考慮慣性力(結構加速度引起的).

如果結構在p(t)作用下,運動緩慢,慣性力可以忽略,則即使結構載荷和反應與時間相關,對任何所需瞬時的分析,仍可用結構靜力分析方法來解決.

單自由度體系的自由振動分析

最簡單的單自由度體系:

承受外部激勵源或荷載的任何線性彈性結構的基本物理特性是:體系的質量m, 彈性特性(柔度或剛度)k, 能量耗散機理或阻尼c

動力學運動方程為:

\[m\ddot{v}\left(t\right)+c\dot{v}\left(t\right)+kv\left(t\right)=p\left(t\right) \]

支座激勵的影響

結構的動應力和動撓度不僅可以由載荷p(t)引起,而且可以由結構支撐點運動引起.(也就是abaqus中的 base motions),地震激勵就是典型的支座激勵.

建立一個地震激勵的簡單體系:

\(f_{l}(t)\)是結構的慣性力.\(v_{g}(t)\)是結構基底位移.

運動學方程為\(f_l(t)+f_D(t)+f_S(t)=0\), 彈性力項和阻尼力項和之前一致,慣性力項:\(f_{l}(t)=m\ddot{v}^{t}(t)\),\(v^{t}(t)\)表示質量對固定參考軸的總位移.總方程為:

\[m\ddot{v}^t(t)+c\dot{v}(t)+kv(t)=0 \]

將\(v^{t}(t)=v(t)+v_{s}(t)\)帶入上式,得:

\[m\ddot{v}\left(t\right)+c\dot{v}\left(t\right)+kv\left(t\right)=-m\ddot{v}_{s}\left(t\right)\equiv p_{\mathrm{elf}}\left(t\right) \]

\(p_{\mathrm{elf}}\left(t\right)\)表示等效支座激勵載荷.

無阻尼自由振動

運動方程:

\[m\ddot{v}(t)+c\dot{v}(t)+kv(t)=0 \]

自由震動的位移通解有形如:

\[v(t)=G\exp(st) \]

其中,G是任意復常數,\(G=G_R+iG_l =\overline{G}\exp(i\theta)\).將v(t)代入方程後,並引入記號:\(\omega^2\equiv\frac km\)

\[(ms^2+cs+k)G\exp(st)=0 \]

\[s^2+\frac cms+\omega^2=0 \]

可以看出,只要求出方程的根s,就可以得到運動方程的解.而根依賴於C相對於m,k的相對值.即阻尼大小決定了體系的動力反應.

令\(c=0\),則有:\(s_{1,2}=\pm i\omega\),因此:\(v(t)=G_{1}\exp(i\omega t)+G_{2}\exp(-i\omega t)\)

討論復常數\(G_{1},G_{2}\)的大小,有:

\[G_{1}=G_{1R}+iG_{1I};\quad G_{2}=G_{2R}+iG_{2I} \]

\[v(t)=(G_{1R}+iG_{1I})(\cos\omega t+i\sin\omega t)+(G_{2R}+iG_{2I})(\cos\omega t-i\sin\omega t) \]

\[v(t)=(G_{1R}+G_{2R})\cos\omega t-(G_{1l}-G_{2l})\sin\omega t+ i[(G_{11}+G_{21})\cos\omega t+(G_{1R}-G_{2R})\sin\omega t] \]

考慮到自由振動的結果必須是實數,因此虛部為0.即:\(G_{1I}=-G_{2I}=G_I;\quad G_{1R}=G_{2R}=G_R\).可見G1,G2互為共軛複數:\(G_{1}=G_{R}+iG_{I};\quad G_{2}=G_{R}-iG_{I}\).最終自由振動解為:

\[v(t)=(G_{R}+iG_{I})\exp(i\omega t)+(G_{R}-iG_{I})\exp(-i\omega t) \]

使用euler變換對\(v(t)\)再進行化簡,得:

\[v(t)=A\cos\omega t+B\sin\omega t;\quad A=2G_R , B=-2G_I \]

透過邊界條件(\(v(0),\ddot{v}(0)\)),可以確定A,B.最終,無阻尼自由振動位移解為:

\[v(t)=v(0)\cos\omega t+\frac{\dot{v}(0)}{\omega}\sin\omega t \]

式中:

• \(v(0)\):初始速度
• \(\dot{v}(0)\):初始加速度
• \(\omega\):角頻率
• 運動頻率\(f=\frac{\omega}{2\pi}\),單位為Hz.
• 運動週期\(\frac1f=\frac{2\pi}\omega=T\),單位為秒.

位移解的另一形式:

\[v(t)=\rho\mathrm{cos}(\omega t+\theta) \]

振幅為:

\[\rho=\sqrt{\left[v(0)\right]^{2}+\left[\frac{\dot{v}\left(0\right)}{\omega}\right]^{2}} \]

相位為:

\[\theta=\tan^{-1}\left[\frac{-\dot{v}(0)}{\omega v(0)}\right] \]

其他知識

• 尤拉方程