題解 GZOI2023D2B【乒乓球】

caijianhong發表於2024-09-09
3D

4s, 512M

題目描述

Alice 和 Bob 在打乒乓球，乒乓球比賽的規則是這樣的：一場比賽中兩位選手將進行若干局比賽，選手只需要贏得 \(X\) 局比賽就宣告其勝利；每局比賽中兩位選手將進行若干盤比賽，選手只需要贏得 \(Y\) 盤比賽就宣告其勝利；每盤比賽中兩位選手將進行乒乓球對決，有且僅有一位選手能被宣告勝利。

你作為 Alice 的朋友觀戰了他們的比賽，發現 Alice 贏了 \(P\) 盤比賽，Bob 贏了 \(Q\) 盤比賽，最後 Alice 取得了整場比賽的勝利。但是你已經忘了 \(X, Y\) 的具體取值，請問有多少種 \(X, Y\) 使得能存在一種方案滿足你記錄下的資訊。

輸入格式

第一行兩個正整數 \(P, Q\)。

輸出格式

第一行一個正整數表示方案數。

樣例

7 5

4

樣例零中，\((X, Y)\) 的所有可能取值為 \((1, 7), (2, 3), (3, 2), (7, 1)\)。

554 454

1226

資料範圍

  • 對於 \(30\%\) 的資料，\(P, Q\leq 10^3\)。
  • 對於 \(50\%\) 的資料，\(P, Q\leq 10^6\)。
  • 對於 \(70\%\) 的資料，\(P, Q\leq 10^{12}\)。
  • 另外有 \(10\%\) 的資料，\(Q=0\)。
  • 對於 \(100\%\) 的資料，\(P, Q\leq 10^{14}\)，並請注意 \(X, Y\) 均應為正整數。

solution

設 Bob 贏下了 \(Z\) 局比賽，因為 Bob 贏的局數會影響 Alice 可以贏的局數。可以列出以下不等式：

\[\begin{aligned} Z&<X\\ XY&\leq P\leq XY+Z(Y-1)\\ ZY&\leq Q\leq ZY+X(Y-1) \end{aligned} \]

觀察到在 \(ZY\leq Q\) 的限制下，將 \(Z\) 增大一定是不劣的，所以一定有

\[Z=\min(X - 1, \left\lfloor Q/Y\right\rfloor) \]

因為 \(XY\leq P\)，所以可以調和級數列舉 \(X, Y\)，獲得 \(50\) 分。

對 \(Z\) 的取值分類討論。

Z = floor(Q / Y)

對於 \(ZY\leq Q\leq ZY+X(Y-1)\)，這自然滿足，因為 \(Q-ZY<Y\)，所以 \(Q-ZY\leq Y - 1\leq X(Y - 1)\)。

對於 \(XY\leq P\leq XY+Z(Y-1)=XY+ZY-Z\) 以及 \(Z\leq X-1\) 可以寫出：

\[\max(Z+1, \left\lceil(P+Z)/Y\right\rceil-Z)\leq X\leq \left\lfloor P/Y\right\rfloor \]

三次整除分塊解決。先 \(\left\lfloor Q/Y\right\rfloor\) 確定 \(Z\) 以及 \(Y\) 對應區間。然後獲得 $ \left\lceil(P+Z)/Y\right\rceil$（注意向上取整，或者寫為 $ \left\lfloor(P+Z-1)/Y\right\rfloor+1$）以及 $ \left\lfloor P/Y\right\rfloor$。

Z = X - 1

對於 \(X-1<\left\lfloor Q/Y\right\rfloor\) （等號在上一種情況討論了）可以推出 \(X\leq Q/Y\) 所以 \(XY\leq Q\)。

對於 \(ZY\leq Q\leq ZY+X(Y-1)\)，左邊自然滿足，右邊 \(Q\leq 2XY-X-Y\)。

對於 \(XY\leq P\leq XY+Z(Y-1)=2XY-X-Y+1\)，其實發現兩條不等式很類似。感受一下：

\[\begin{aligned} &XY\leq P\leq 2XY-X-Y+1\\ &XY\leq Q\leq 2XY-X-Y\\ \end{aligned} \]

兩個變數的地位等同，不妨：

\[X\leq\left\lfloor\min(P, Q)/Y\right\rfloor \]

後面這個部分，\(P, Q\) 對稱，設 \(R=\max(P - 1, Q)\)，然後

\[R\leq 2XY-X-Y \]

以 \(X\) 為主元，求出 \(X\) 的範圍。

\[R+Y\leq (2Y-1)X \]

所以

\[X\geq\left\lceil \frac{R+Y}{2Y-1}\right\rceil \]

即

\[X\geq\left\lfloor \frac{R+Y-1}{2Y-1}\right\rfloor+1 \]

感受一下，右邊的值域比較小，嘗試對 \(Y\) 進一步整除分塊。令 \(V=\left\lfloor\frac{R+Y-1}{2Y-1}\right\rfloor\)。求出使得那一坨東西 \(=V\) 的 \(Y\) 的範圍。

\[\begin{aligned} V&\leq (R+Y-1)/(2Y-1)\\ 2VY-V&\leq R+Y-1\\ Y&\leq \frac{R+V-1}{2V-1}\\ Y&\leq \left\lfloor\frac{R+V-1}{2V-1}\right\rfloor\\ \end{aligned} \]

至此所有問題都解決了。時間複雜度 \(O(\sqrt P+\sqrt Q)\)，具體幾倍常數不知道。

code

正確性未知 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#ifdef LOCAL
#define debug(...) fprintf(stderr, ##__VA_ARGS__)
#else
#define endl "\n"
#define debug(...) void(0)
#endif
using LL = long long;
LL p, q, ret;
int main() {
#ifndef LOCAL
  cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);  
#endif
  cin >> p >> q;
  for (LL l = 1, r; l <= p; l = r + 1) {
    LL z = q / l, pz1 = p + z - 1;
    r = p / (p / l);
    if (l <= pz1) r = min(r, pz1 / (pz1 / l));
    if (z) r = min(r, q / z);
    ret += (r - l + 1) * max(0ll, p / l - max(z + 1, pz1 / l + 1 - z) + 1);
  }
  for (LL l = 1, r; l <= min(p, q); l = r + 1) {
    r = min(p, q) / (min(p, q) / l);
    LL v = (max(p - 1, q) + l - 1) / (2 * l - 1);
    if (v) r = min(r, (max(p - 1, q) + v - 1) / (2 * v - 1));
    ret += (r - l + 1) * max(0ll, min(p, q) / l - v);
  }
  cout << ret << endl;
  return 0;
}

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