太神了，專門寫一篇題解 qwq
簡要題意：給你 \(R\) 個紅球和 \(B\) 個藍球，你要把它們放到 \(K\) 個箱子裡，要求沒有兩個箱子完全相同（即兩種球個數就相同），求 \(K\) 的最大值。
設第 \(i\) 個箱子中有 \(x_i\) 個紅球，\(y_i\) 個藍球，就變成了找平面上一個大小最大的點集 \((x_i,y_i)\)，使 \(\sum x_i =R, \sum y_i=B\)。進一步，由於可以直接將 \(x\) 最大的點 \(x\) 座標變大，\(y\) 同理，因此只需有 \(\sum x_i \le R, \sum y_i \le B\) 即可。
這是一道二維平面上的題，我們可以想辦法把它變成一維。給 \(x\) 方向賦一個權重 \(p\)，\(y\) 方向賦一個權重 \(q\)，那麼一個點 \((x,y)\) 就被投影到了 \(px+qy\) 上。此時我們發現所有點投影后的權重和為 \(\sum px_i+qy_i=p\sum x_i+q\sum y_i\)，於是當 \(\sum x_i \le R, \sum y_i \le B\) 時，便有 \(\sum px_i+qy_i\le pR+qB\)。在某種程度上，我們就會希望 \(\sum px_i+qy_i\) 儘量小。
首先當然二分 \(K\)，問題變為判定一個 \(K\) 是否可行。然後我們考慮一個凸包，凸包上的點 \((X,Y)\) 代表 \(\sum x_i=X\) 時，\(\sum y_i\) 的最小值為 \(Y\)。感性理解一下這玩意大概就是凸的，並且對每個 \(X\) 都有定義。於是 \(K\) 可行當且僅當點 \((R,B)\) 在凸包上方。又發現對於一個 \((p,q)\)，使 \(p\sum x_i+q\sum y_i\) 最小時，\((\sum x_i,\sum y_i)\) 一定在凸包上，於是我們嘗試用 \((p,q)\) 搞出凸包上的一些點。
繼續發現 \(p\sum x_i+q\sum y_i=(p,q)\cdot (\sum x_i,\sum y_i)\)，即向量 \((x_i,y_i)\) 在向量 \((p,q)\) 上的投影。\(p\sum x_i+q\sum y_i\) 最小，就是這個投影最小，可以看作拿一條與向量 \((p,q)\) 垂直的直線去切這個凸包，所以每個點都一定有機會被切到，且 \((p,q)\) 的斜率越大，切到的點越偏右。於是再對 \((p,q)\) 的斜率進行二分，如果發現求出來的點 \((\sum x_i,\sum y_i)\) 在 \((R,B)\) 左下方，那就成了；如果在 \((R,B)\) 右上方，那就寄了；如果在左上方，那就增大斜率；如果在右下方，那就減小斜率。
這裡有兩個技巧：1，不要在實數域上二分 \((p,q)\) 的斜率，令 \(p+q=10^9+7\)（或其它常數），然後直接二分 \(p\)，可以發現這樣基本上能覆蓋到所有的斜率都能被弄到，從而能切到每個點。2，由於凸包上相鄰兩條線段斜率可能非常相近，因此我們要當發現當前凸包上一條連線在 \((R,B)\) 下方時直接返回合法。
最後的問題是如何計算對於一個 \((p,q)\) 計算 \(p\sum x_i+q\sum y_i\) 的最小值。我們二分一個 \(z\)，求出 \(p\sum x_i+q\sum y_i\le z\) 的個數進行二分。然後求出 \(p\sum x_i+q\sum y_i\le z\) 的 \(x,y\) 分別的和以及多餘的一些 \(p\sum x_i+q\sum y_i=z+1\) 的前若干個 \(x,y\) 的和。以上操作全部用類歐做就是一個 \(\log\)，或者發現如果我們選了一個點 \((x,y)\)，那麼它左下角的所有點都一定已經被選了，所以有 \(\min(x,y)\le O(W^{1\over 3})\)（\(W\) 為值域），二維分別列舉即可。
一共三個二分，最後一步用類歐時間複雜度就 \(O(\log^4 W)\)，直接列舉複雜度就 \(O(W^{1\over 3}\log^3 W)\)。