A. Distance Mod 5
考慮一個點 \(x\) 向外的最短路樹，如果兩個點不滿足 \(dis_{i,x} = (dis_{j,x} + 1) \bmod 5\) 或 \(dis_{j,x} = (dis_{i,x} + 1) \bmod 5\)，那麼這兩個點一定沒有連邊，否則可能有連邊。
去除掉所有不可能的連邊，剩下的連上邊，發現這樣是最優的。然後 floyd check 一下是否滿足要求，複雜度 \(O(n^3)\)。
B. Two Tokens
考慮 \(1\) 和 \(2\) 兩個點不斷擴充套件，會得到一個當前走到的集合。
如果這個集合不能再擴充套件，那集合外的點要滿足：與集合中的點都有連邊 或 都沒有連邊。
打了一下暴力驗證發現是充要條件：如果找到一個包含 \(1,2\) 的集合滿足上面的性質，則不能完全染色，否則可以。
列舉這個集合大小並容斥即可，複雜度 \(O(n^2)\)。
C. Cycling Competition
考慮詢問能得到的資訊是：得到最大值的位置，以及剩下序列的大根笛卡爾樹。
假設當前笛卡爾樹只包含兩條鏈，我們將一條鏈從大到小、一條鏈從小到大排，詢問一次就可以歸併兩條鏈。
現在假設笛卡爾樹被剖分成了 \(k\) 條鏈（具有 \(k\) 個葉子），我們依次將鏈從大到小、從小到大交替排，詢問一次後得到的笛卡爾樹就只剩下 \(\lceil\frac{k}{2}\rceil\) 條鏈。
最優的詢問次數是 \(\log_2(n-1)\)。
D. Cycle Constrained Graph
考慮怎麼利用模 \(P\) 的性質。
考慮把點按照 \(P\) 個分一組，分成 \(n\) 組。
假設把第一組的點編號修改成 \(i \to (i+1) \bmod P\)，那麼如果形成的圖不一樣，迴圈 \(P\) 次得到的都是合法方案。這 \(P\) 個方案會在 \(\bmod P\) 下抵消，可以不用考慮。
於是剩下的情況下，剩下每個點向第一組的點要麼都連邊，要麼都不連邊。同時第一組的點內部也不能有邊，不然直接出現了長度為 \(P\) 的環。
然後再歸納第二組點，剩下的點到第二組點的連邊情況也要相同，否則在 \(\bmod P\) 下抵消。
於是最後要統計的方案為：每兩組點之間的連邊情況相同。
把每組點縮成一個，
E. Avoid XOR Zero
這個題是打表做出來的，所以寫的不太嚴謹。
透過打暴力發現，unavoidable 的序列是非常少的。考慮 unavoidable 需要什麼性質。
設 \(x_i = b_i \oplus c_i\)。我們要求不管怎麼選，\(x_i\) 的線性基都能表示出 \(b_i\) 的異或和。
可以證明 \(x_i\) 在最低的若干位必須形成滿秩的線性基。可以考慮調整 \(b_i\)，證明每個 \(2^p\) 都需要被線性基表示。
我們發現，如果一個數形如 ???0111 的話，不管怎麼分，\(x_i\) 都為 ???0111. 可以用若干個這樣的陣列成低位的線性基。
最終合法的方案形如：
先取若干個數，形成最低位的線性基
00 ???01
00 ??011
00 ?0111
00 01111
00 11111
剩下的數都要 <=
01 11111
列舉線性基的最高位，然後 dp 即可。複雜度 \(O(n^4)\)。