1. 算術運算表示式求值
在上一篇博文《Python技法：用re模組實現簡易tokenizer》中，我們介紹了用正規表示式來匹配對應的模式，以實現簡單的分詞器。然而，正規表示式不是萬能的，它本質上是一種有限狀態機（finite state machine，FSM）, 無法處理含有遞迴語法的文字，比如算術運算表示式。
要解析這類文字，需要另外一種特定的語法規則。我們這裡介紹可以表示上下文無關文法（context free grammer）的語法規則巴科斯正規化(BNF)和擴充套件巴科斯正規化(EBNF)。實際上，小到一個算術運算表示式，大到幾乎所有程式設計語言，都是通過上下文無關文法來定義的。
對於簡單的算術運算表示式，假定我們已經用分詞技術將其轉化為輸入的tokens流，如NUM+NUM*NUM（分詞方法參見上一篇博文）。
在此基礎上，我們定義BNF規則定義如下：
expr ::= expr + term
| expr - term
| term
term ::= term * factor
| term / factor
| factor
factor ::= (expr)
| NUM
當然，這種計法還不夠簡潔明瞭，我們實際採用的為EBNF形式：
expr ::= term { (+|-) term }*
term ::= factor { (*|/) factor }*
factor ::= (expr)
| NUM
BNF和EBNF每一條規則(形如::=的式子)都可以看做是一種替換，即左側的符號可以被右側的符號所替換。而解析的過程中我們嘗試將輸入文字同語法規則做匹配，通過BNF/EBNF來完成各種替換和擴充套件。其中，EBNF中包含在{...}*中的規則是可選的，*意味著零個或多個重複項（參考正規表示式）。
下圖形象地展示了遞迴下降解析器(parser)中“遞迴”和“下降”部分和ENBF的關係：
在實際的解析過程中，我們對tokens流從左到右進行掃描，在掃描的過程中處理token，如果卡住就產生一個語法錯誤。對於規則，我們將每一條語法規則轉變為一個函式或方法，比如上面的ENBF規則就轉換為下列的方法：
class ExpressionEvaluator():
...
def expr(self):
...
def term(self):
...
def factor(self):
...
在呼叫某個規則對應方法的過程中，如果我們發現接下來的符號需要採用另一個規則來匹配，則我們就會“下降”到另一個規則方法（如在expr中呼叫term，term中呼叫factor），則也就是遞迴下降中“下降”的部分。
有時也會呼叫已經在執行的方法（比如在expr中呼叫term，term中呼叫factor後，又在factor中呼叫expr，相當於一條銜尾蛇），這也就是遞迴下降中“遞迴”的部分。
對於語法中出現的重複部分（例如expr ::= term { (+|-) term }*），我們則通過while迴圈來實現。
下面我們來看具體的程式碼實現。首先是分詞部分，我們參照上一篇介紹分詞部落格的程式碼。
import re
import collections
# 定義匹配token的模式
NUM = r'(?P<NUM>\d+)' # \d表示匹配數字，+表示任意長度
PLUS = r'(?P<PLUS>\+)' # 注意轉義
MINUS = r'(?P<MINUS>-)'
TIMES = r'(?P<TIMES>\*)' # 注意轉義
DIVIDE = r'(?P<DIVIDE>/)'
LPAREN = r'(?P<LPAREN>\()' # 注意轉義
RPAREN = r'(?P<RPAREN>\))' # 注意轉義
WS = r'(?P<WS>\s+)' # 別忘記空格，\s表示空格，+表示任意長度
master_pat = re.compile(
'|'.join([NUM, PLUS, MINUS, TIMES, DIVIDE, LPAREN, RPAREN, WS]))
# Tokenizer
Token = collections.namedtuple('Token', ['type', 'value'])
def generate_tokens(text):
scanner = master_pat.scanner(text)
for m in iter(scanner.match, None):
tok = Token(m.lastgroup, m.group())
if tok.type != 'WS': # 過濾掉空格符
yield tok
下面是表示式求值器的具體實現：
class ExpressionEvaluator():
""" 遞迴下降的Parser實現，每個語法規則都對應一個方法，
使用 ._accept()方法來測試並接受當前處理的token，不匹配不報錯，
使用 ._except()方法來測試當前處理的token，並在不匹配的時候丟擲語法錯誤
"""
def parse(self, text):
""" 對外呼叫的介面 """
self.tokens = generate_tokens(text)
self.tok, self.next_tok = None, None # 已匹配的最後一個token，下一個即將匹配的token
self._next() # 轉到下一個token
return self.expr() # 開始遞迴
def _next(self):
""" 轉到下一個token """
self.tok, self.next_tok = self.next_tok, next(self.tokens, None)
def _accept(self, tok_type):
""" 如果下一個token與tok_type匹配，則轉到下一個token """
if self.next_tok and self.next_tok.type == tok_type:
self._next()
return True
else:
return False
def _except(self, tok_type):
""" 檢查是否匹配，如果不匹配則丟擲異常 """
if not self._accept(tok_type):
raise SyntaxError("Excepted"+tok_type)
# 接下來是語法規則，每個語法規則對應一個方法
def expr(self):
""" 對應規則： expression ::= term { ('+'|'-') term }* """
exprval = self.term() # 取第一項
while self._accept("PLUS") or self._accept("DIVIDE"): # 如果下一項是"+"或"-"
op = self.tok.type
# 再取下一項，即運算子右值
right = self.term()
if op == "PLUS":
exprval += right
elif op == "MINUS":
exprval -= right
return exprval
def term(self):
""" 對應規則： term ::= factor { ('*'|'/') factor }* """
termval = self.factor() # 取第一項
while self._accept("TIMES") or self._accept("DIVIDE"): # 如果下一項是"+"或"-"
op = self.tok.type
# 再取下一項，即運算子右值
right = self.factor()
if op == "TIMES":
termval *= right
elif op == "DIVIDE":
termval /= right
return termval
def factor(self):
""" 對應規則： factor ::= NUM | ( expr ) """
if self._accept("NUM"): # 遞迴出口
return int(self.tok.value)
elif self._accept("LPAREN"):
exprval = self.expr() # 繼續遞迴下去求表示式值
self._except("RPAREN") # 別忘記檢查是否有右括號，沒有則丟擲異常
return exprval
else:
raise SyntaxError("Expected NUMBER or LPAREN")
我們輸入以下表示式進行測試：
e = ExpressionEvaluator()
print(e.parse("2"))
print(e.parse("2+3"))
print(e.parse("2+3*4"))
print(e.parse("2+(3+4)*5"))
求值結果如下：
2
5
14
37
如果我們輸入的文字不符合語法規則：
print(e.parse("2 + (3 + * 4)"))
則會丟擲SyntaxError異常：Expected NUMBER or LPAREN。
綜上，可見我們的表示式求值演算法執行正確。
2. 生成表示式樹
上面我們是得到表示式的結果，但是如果我們想分析表示式的結構，生成一棵簡單的表示式解析樹呢？那麼我們需要對上述類的方法做一定修改：
class ExpressionTreeBuilder(ExpressionEvaluator):
def expr(self):
""" 對應規則： expression ::= term { ('+'|'-') term }* """
exprval = self.term() # 取第一項
while self._accept("PLUS") or self._accept("DIVIDE"): # 如果下一項是"+"或"-"
op = self.tok.type
# 再取下一項，即運算子右值
right = self.term()
if op == "PLUS":
exprval = ('+', exprval, right)
elif op == "MINUS":
exprval -= ('-', exprval, right)
return exprval
def term(self):
""" 對應規則： term ::= factor { ('*'|'/') factor }* """
termval = self.factor() # 取第一項
while self._accept("TIMES") or self._accept("DIVIDE"): # 如果下一項是"+"或"-"
op = self.tok.type
# 再取下一項，即運算子右值
right = self.factor()
if op == "TIMES":
termval = ('*', termval, right)
elif op == "DIVIDE":
termval = ('/', termval, right)
return termval
def factor(self):
""" 對應規則： factor ::= NUM | ( expr ) """
if self._accept("NUM"): # 遞迴出口
return int(self.tok.value) # 字串轉整形
elif self._accept("LPAREN"):
exprval = self.expr() # 繼續遞迴下去求表示式值
self._except("RPAREN") # 別忘記檢查是否有右括號，沒有則丟擲異常
return exprval
else:
raise SyntaxError("Expected NUMBER or LPAREN")
輸入下列表示式測試一下：
print(e.parse("2+3"))
print(e.parse("2+3*4"))
print(e.parse("2+(3+4)*5"))
print(e.parse('2+3+4'))
以下是生成結果：
('+', 2, 3)
('+', 2, ('*', 3, 4))
('+', 2, ('*', ('+', 3, 4), 5))
('+', ('+', 2, 3), 4)
可以看到表示式樹生成正確。
我們上面的這個例子非常簡單，但遞迴下降的解析器也可以用來實現相當複雜的解析器，例如Python程式碼就是通過一個遞迴下降解析器解析的。您要是對此跟感興趣可以檢查Python原始碼中的Grammar檔案來一探究竟。然而，下面我們接著會看到，自己動手寫一個解析器會面對各種陷阱和挑戰。
左遞迴和運算子優先順序陷阱
任何涉及左遞迴形式的語法規則，都沒法用遞迴下降parser來解決。所謂左遞迴，即規則式子右側最左邊的符號是規則頭，比如對於以下規則：
items ::= items ',' item
| item
完成該解析你可能會定義以下方法：
def items(self):
itemsval = self.items() # 取第一項，然而此處會無窮遞迴！
if itemsval and self._accept(','):
itemsval.append(self.item())
else:
itemsval = [self.item()]
這樣做會在第一行就無窮地呼叫self.items()從而產生無窮遞迴錯誤。
還有一種是語法規則自身的錯誤，比如運算子優先順序。我們如果忽視運算子優先順序直接將表示式簡化如下：
expr ::= factor { ('+'|'-'|'*'|'/') factor }*
factor ::= '(' expr ')'
| NUM
這個語法從技術上可以實現，但是沒有遵守計算順序約定，導致"3+4*5"的運算結果為35，而不是預期的23。故此處需要用獨立的expr和term規則來確保計算結果的正確性。
3. 相關包
最後，對於真正複雜的語法解析，建議採用PyParsing或PLY這樣的解析工具。如果你對Python程式碼的抽象語法樹感興趣，可以看下Python自帶的ast模組。
參考
- [1] Martelli A, Ravenscroft A, Ascher D. Python cookbook[M]. " O'Reilly Media, Inc.", 2015.
- [2] https://cs61a.org/study-guide/regex/
- [3] https://cs61a.org/study-guide/bnf/
- [4] https://zh.wikipedia.org/wiki/巴科斯正規化