F - Perfect Matching on a Tree

纯粹的發表於2024-08-10

原題連結

分析

考慮兩個點對 \((a,b),(x,y)\)

如果點對 \((a,b)\) 的路徑與點對 \((x,y)\) 的路徑不存在共同的點，那麼此時我們交換 \(a,x\)，則有點對 \((x,b),(a,y)\)

此時兩個點對的路徑相交，且 \(dis(x,b)+dis(a,y)\gt dis(a,b)+dis(x,y)\)

所以，最後的答案一定是一條路徑與其他所有路徑都有交點

此時猜想，如果樹上每條路徑與其他路徑都有交點，那麼是否存在一個點，使得所有路徑都經過這點？

驗證：

假設存在三條繩子，每兩條繩子相交，由於不存在環（樹結構），所以他們必然有至少一個共同的交點

四五六條繩子同理

簡化題意

我麼已知最優答案下，所有路徑必然有一個共同的點，因此我們可以遍歷所有點，假定它是那個共同交點的情況下的答案

但是當我們取葉子節點時，我們發現不是所有點都能成為共同交點，因此我們試著找哪些點不能/能成為共同交點

我們把這個點作為樹的根，如果有一個子樹的節點個數大於 \(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\)，那麼一定不行，因為該子樹內的點的配對點必須在子樹外（很經典的兩兩不同匹配問題）

所以共同交點的要求是，不存在子樹大小超過 \(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\)

實施

考慮任意兩個點 \((u,v)\)，\(dis(u,v)=dis(u,root)+dis(v,root)\) ，所以只要不和子樹內的點配對都可以

我們對節點標記 dfs 序，dfs序差大於等於 \(\frac{n}{2}\) 的，一定不在同一子樹內

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
/*
#define int long long
#define double long double
#define lowbit(x) ((x)&(-x))
const int inf=1e18;
const int mod=1e9+7;

const int N=4e5;
int qpow(int a,int n)
{
    int res=1;
    while(n)
    {
        if(n&1) res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        n>>=1;
    }
    return res;
}
int inv(int x)
{
    return qpow(x,mod-2);
}
int fa[2000005];
int finds(int now){return now==fa[now]?now:finds(fa[now]);}


int dfn[200005],low[200005];
int cnt=0,num=0;
int in_st[200005]={0};
stack<int> st;
int belong[200005]={0};

void scc(int now,int fa)
{
    dfn[now]=++cnt;
    low[now]=dfn[now];
    in_st[now]=1;
    st.push(now);

    for(auto next:G[now])
    {
        if(next==fa) continue;

        if(!dfn[next])
        {
            scc(next,now);
            low[now]=min(low[now],low[next]);
        }
        else if(in_st[next])
        {
            low[now]=min(low[now],dfn[next]);
        }
    }

    if(low[now]==dfn[now])
    {
        int x;
        num++;
        do
        {
            x=st.top();
            st.pop();
            in_st[x]=0;
            belong[x]=num;
        }while(x!=now);
    }
}
vector<int> prime;
bool mark[200005]={0};
void shai()
{
    for(int i=2;i<=200000;i++)
    {
        if(!mark[i]) prime.push_back(i);

        for(auto it:prime)
        {
            if(it*i>200000) break;

            mark[it*i]=1;
            if(it%i==0) break;
        }
    }
}
*/
vector<int> G[200005];

int sizes[200005]={0};
int sum[200005]={0};
int n;
int center=1,cmin;


void dfs1(int now,int fa)//統計最大子樹大小，找交點
{
    sizes[now]=1;
    int tem=0;
    for(auto next:G[now])
    {
        if(next==fa) continue;

        dfs1(next,now);

        sizes[now]+=sizes[next];
        tem=max(tem,sizes[next]);
    }

    tem=max(tem,n-sizes[now]);
    if(tem<cmin)
    {
        cmin=tem;
        center=now;
    }
}
int dfn[200005];
int cnt=0;
void dfs2(int now,int fa)
{
    dfn[++cnt]=now;
    for(auto next:G[now])
    {
        if(next==fa) continue;
        dfs2(next,now);
    }
}
void solve()
{
    cin>>n;
    cmin=n;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        G[x].push_back(y);
        G[y].push_back(x);
    }

    dfs1(1,1);
    dfs2(center,center);

    int half=n/2;
    for(int i=1+n%2;i<=half+n%2;i++) cout<<dfn[i]<<' '<<dfn[i+half]<<'\n';
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
    int TT=1;
    //cin>>TT;
    while(TT--) solve();
    return 0;
}

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