[AGC029F] Construction of a tree 題解

JiaY19發表於2024-05-24
GCStruct

很厲害的題。

思路

考慮先隨意欽定一個根。

然後每一個點集都需要貢獻樹上的一條邊。

這條邊一定是某個點連向自己父親的一條邊。

先跑一個二分圖匹配。

將某個點集向自己內部的所有點連邊（把根剔除）。

如果匹配數不為 \(n-1\)，那麼很顯然是無解的。

如何得到一個方案。

我們使用 bfs。

  • 最初，將根丟入佇列。
  • 提出此時的隊頭，遍歷所有包含對頭的點集。
  • 若此時這個點集的匹配點沒有被連邊，那麼連一條這個點到對頭的邊，並把它放入佇列內部。

若最終連的邊沒有 \(n-1\) 條則無解。

如何證明上述構造。

考慮可以構造的一個必要條件。

無論我們欽定哪一個點為根，我們的二分圖匹配數一定是 \(n-1\)。

所以可以使用霍爾定理。

對於點集 \(\{E_1,E_2,\cdots,E_{n-1}\}\)。

設 \(T\) 為其中的一個子集。

那麼 \(|F(T)|\ge|T|+1\)，其中 \(F(T)\) 為 \(T\) 集合內所有集合的並集。

其實這個條件同樣也是一個充分條件。

考慮我們的構造過程。

在我們的已經連邊的點內，他們對應的點集的並始終會比已經連邊的點的個數至少多一。

所以我們的構造過程就可以保證有解的情況下一定可以構造出一組解。

時間複雜度 \(O(m\sqrt n)\)。

這道題出題人一點素質沒有把 isap 卡掉了。

Code

/*
  ! Though life is hard, I want it to be boiling.
  ! Created: 2024/04/09 21:53:39
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define x first
#define y second
// #define int long long
#define mp(x, y) make_pair(x, y)
#define eb(...) emplace_back(__VA_ARGS__)
#define fro(i, x, y) for (int i = (x); i <= (y); i++)
#define pre(i, x, y) for (int i = (x); i >= (y); i--)
inline void JYFILE19();

typedef long long i64;
typedef pair<int, int> PII;

bool ST;
const int N = 1e6 + 10;
const int mod = 998244353;

int n, m, s, t, ct = 1, mflow;
int p[N], dep[N], gap[N], cur[N], head[N];
vector<int> to[N];
struct edge {
  int to, nxt, val;
} e[N * 2];

inline void add(int x, int y, int z) {
  e[++ct] = {y, head[x], z}, head[x] = ct;
  e[++ct] = {x, head[y], 0}, head[y] = ct;
}
inline auto bfs() {
  fill(dep + 1, dep + t + 1, 0);
  queue<int> q; q.push(s), dep[s] = 1;
  while (q.empty() == 0) {
    int x = q.front(); q.pop();
    for (int i = head[x]; i; i = e[i].nxt) {
      if (!e[i].val) continue;
      if (dep[e[i].to] == 0) {
        dep[e[i].to] = dep[x] + 1;
        q.push(e[i].to);
      }
    }
  }
  return dep[t] != 0;
}
inline auto dfs(int now, int flow) {
  if (now == t) {
    return mflow += flow, flow;
  }
  int used = 0;
  for (int&i = cur[now]; i; i = e[i].nxt) {
    if (e[i].val && dep[e[i].to] == dep[now] + 1) {
      int x = dfs(e[i].to, min(e[i].val, flow - used));
      e[i].val -= x, e[i ^ 1].val += x, used += x;
      if (used == flow) return used;
    }
  }
  return used;
}
inline void dinic() {
  while (bfs()) {
    copy(head + 1, head + t + 1, cur + 1);
    while (dfs(s, 1e9));
  }
}

signed main() {
  JYFILE19();
  cin >> n;
  s = 2 * n - 1, t = s + 1;
  fro(i, 1, n - 1) {
    int m; cin >> m;
    add(s, i, 1);
    fro(j, 1, m) {
      int x;
      cin >> x, to[x].eb(i);
      add(i, x + n - 1, 1);
    }
  }
  fro(i, 1, n - 1) add(i + n - 1, t, 1);
  dinic();
  queue<int> q;
  vector<PII> ans;
  ans.resize(n), q.push(n);
  fro(i, 1, n - 1) {
    for (int j = head[i]; j; j = e[j].nxt) {
      if (e[j].val == 0 && e[j].to < s) {
        p[i] = e[j].to - n + 1;
        break;
      }
    }
  }
  while (q.empty() == 0) {
    int x = q.front(); q.pop(), m++;
    for (auto i : to[x]) {
      if (p[i]) {
        ans[i] = mp(x, p[i]);
        q.push(p[i]), p[i] = 0;
      }
    }
  }
  if (m < n || mflow < n - 1) {
    cout << "-1\n";
    return 0;
  }
  for (auto i : ans) if (i.x) cout << i.x << " " << i.y << "\n";
  return 0;
}

bool ED;
inline void JYFILE19() {
  // freopen("", "r", stdin);
  // freopen("", "w", stdout);
  srand(random_device{}());
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  double MIB = fabs((&ED-&ST)/1048576.), LIM = 1024;
  cerr << "MEMORY: " << MIB << endl, assert(MIB<=LIM);
}

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