3. 算符
3.1 線性算符
\(A(|a\rang+|b\rang) = A|a\rang+A|b\rang\)
\(A(z|a\rang = zA|a\rang\)
3.2 特殊算符
恆等算符\(I\) \(I|a\rang = |a\rang\)
零算符0 \(0|a\rang = 0\)
3.3 本徵值和本徵矢
\(A|v\rang = \lambda|v\rang\) \(|v\rang 是 A 的本徵向量，\lambda 是相應的本徵值.\)
如何求得本徵值和本徵向量：
(1) \(A|v\rang =\lambda|v\rang = \lambda I |v\rang (I是等同算符)\)
(2) \((A-\lambda I）|v\rang = 0\)
(3) \(|A-\lambda I| = 0\)，解得 \(\lambda\)， 帶入\((A-\lambda I）|v\rang = 0\)，可求得 \(|v\rang\).
3.4 對易關係
\([A, B] = AB-BA\)， 若\([A, B] = 0, 即 AB=BA，則稱A與B是對易的.\)
\(\{A, B\} = AB+BA\)， 若\({A, B} = 0, 即 AB=-BA，則稱A與B是反對易的.\)
3.5 厄米算符
\(A = A^\dagger\)， 則\(A\) 是厄米算符. （類似對稱矩陣，\(A=A^T\)）
\((AB)^\dagger = B^{\dagger}A^\dagger\)
推導：\((AB)^\dagger = ((AB)^*)^T) = ((AB)^T)^*) = (B^{T}A^T)^* = ((B^T)^*)((A^T)^*) = B^{\dagger}A^\dagger\)
厄米算符的本徵值是實數.
半正定運算元(positive operator) 是厄米運算元的一個極重要的子類.
\(半正定運算元A \Longleftrightarrow (|v\rang, A|v\rang) = \lang v| A |v \rang \geq 0\)
\(正定運算元A \Longleftrightarrow (|v\rang, A|v\rang) = \lang v| A |v \rang > 0\)
正定的(positive definite). 任意半正定運算元自動地是厄米的，於是由譜分解定理，它具有對角表示\(\sum_i \lambda_i |i\rang \lang i|\)， \(\lambda_i\) 是非負特徵值.
3.6 外積算符
\(態矢 |u\rang自身的外積是 |u\rang \lang u|\).
\(\Big( |u\rang \lang u| \Big) |w\rang = |u\rang \Big(\lang u|w\rang \Big) =\lang u|w\rang |u\rang\), 得到的向量與原來的態矢方向相同，但是係數是\(|u\rang 與|w\rang 的內積\)， 所以算符\(|u\rang \lang u | 作用於態向量|w\rang 可以看作 |w\rang 在 |u\rang 上的投影(分量).\)
3.7 投影算符
設空間 \(V\) 是\(n\)維， \(|i\rang (i=1,2,\cdots, n)\) 是空間\(V\) 的一組正交規一基，定義投影算符
\(P=\sum_{1}^{m}|i\rang\lang i|~~~~(i=1,2,\cdots,m),~~m\leq n\)
各個 \(|i\rang~(i=1,2,\cdots,m)\) 構成 \(V\) 的子空間 \(M\). 投影算符\(P\)作用於空間V中的任一態矢\(|w\rang\)相當於求取\(|w\rang\) 在子空間 \(M\) 中的分量. 顯然，
(1). 當 \(m =n\)時，子空間\(M\)亦即原來的空間 \(V\). \(V\) 中任何態矢 \(|w\rang\) 在 \(V\)中的投影顯然就是 \(|w\rang\) 本身，故
\(\sum_1^n |i\rang\lang i|w\rang = |w\rang\)
\(\sum_1^n |i\rang\lang i | = I\), \(I\) 是\(n\) 階等同算符.
(2). 當 \(m<n\) 時，\(|w \rang\) 是空間 \(V\) 中的任意態矢，\(P|w \rang = \sum_1^m|i\rang \lang i|w\rang = |v\rang\) 是在 \(M\)中， \(|v\rang\) 在\(M\) 中的投影是 \(|v\rang\) 自身, 故
\(\left\{\begin{matrix}
P(P|w\rang)= P|w\rang = |v\rang \\
P=P^2=P^3= \cdots
\end{matrix}\right.\)
3.8 對角化及譜分解
\(A=\sum \lambda_i |i\rang \lang i | (i = 1,2, \cdots, n) = O = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix}\)
其中，\(\lambda_i\) 是本徵值，\(|i\rang\) 是對應的本徵向量.
算符 \(A\) 能夠對角化的充要條件是 \(A\) 是一個正規算符(normal operator)， 即 \(AA^\dagger = A^{\dagger}A\).
\(A 能夠對角化 \Longleftrightarrow AA^\dagger = A^{\dagger}A\)
3.9 么正算符
么正算符，也叫酉算符. \(U^\dagger = U^{-1}\)，即 \(U^{\dagger}U = I\). (類似正交矩陣 \(AA^T = I\)，\(A^T = A^{-1}\))
么正算符的性質：
(1) 空間中任意兩個向量經么正變換後內積保持不變.
推導如下：
變換前的兩個向量，\(|s\rang\) 和\(|t\rang\)，其內積為\(\lang s|t \rang\).
以么正算符作用於\(|s\rang\) 和\(|t\rang\) 後，\(U|s\rang\) 和\(U|t\rang\)，其內積為 \(\Big(U|s\rang, U|t\rang \Big) = \lang s|U^{\dagger} U|t\rang = \lang s|I|t\rang = \lang s|(I|t\rang) = \lang s|t\rang\).
(2) 正交規一基經過么正變換後變為另一組正交歸一基.
設\(|u_i\rang(i=1,2,\cdots,n)\) 是一組正交規一基，\(U\) 是么正變換，\(U|u_i\rang = |w_i\rang\)， 可得
反之，若 \(|u_i\rang\) 和 \(|w_i\rang\) 是兩組歸一正交基，則它們之間的變換是么正變換. 即，\(A|u_i\rang = |w_i\rang\), A是么正變換.
推導如下：
假設 \(A|u_i\rang = |w_i \rang\)， 證明 \(A\) 是么正算符.
$A|u_i\rang = |w_i \rang \Longrightarrow A|u_i\rang \lang u_i| = |w_i \rang \lang u_i| \Longrightarrow \sum_i A|u_i\rang \lang u_i| = \sum_i |w_i \rang \lang u_i| $
\(\Longrightarrow A\sum_i |u_i\rang \lang u_i| = \sum_i |w_i \rang \lang u_i| \Longrightarrow AI = \sum_i |w_i \rang \lang u_i| \Longrightarrow A = \sum_i |w_i \rang \lang u_i|\)
\(A^\dagger = \sum_i |u_i\rang \lang w_i|\)
\(A^{\dagger}A = \sum_i |u_i\rang \lang w_i| \sum_j |w_j \rang \lang u_j| = \sum_i \sum_j |u_i\rang \lang w_i|w_j \rang \lang u_j| = \sum_i |u_i\rang \lang u_i| = I\).
上式中 $I $ 是恆等算符，故 \(A\) 是么正算符.
(3) 么正算符的本徵值都以1為模數，亦即可表示為\(e^{i\theta}\)， \(\theta\) 是個實數.
3.10 泡利算符
\(\sigma_0 = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) \(\sigma_ 1= \sigma_x = X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)
\(\sigma_2= \sigma_y = Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}\) \(\sigma_3= \sigma_z = Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)
泡利算符既是厄米算符，又是么正算符，即\(\sigma = \sigma^\dagger = \sigma^{-1}\).
參考文獻
[1] 馬瑞霖. 量子密碼通訊[M]. 北京：科學出版社，2006.
[2] [英]尼爾森，莊著. 量子計算和量子資訊(一)--量子計算部分[M]. 趙千川譯. 北京：清華大學出版社，2009.
[3] [法]Emmanuel Desurvire. Classical and Quantum Information Theory[M]. 北京：科學出版社，2013.