機器之心原創
作者：蔣思源
本文是機器之心第二個 GitHub 實現專案，上一個 GitHub 實現專案為從頭開始構建卷積神經網路。在本文中，我們將從原論文出發，藉助 Goodfellow 在 NIPS 2016 的演講和臺大李弘毅的解釋，完成原 GAN 的推導、證明與實現。
本文主要分四部分，第一部分描述 GAN 的直觀概念，第二部分描述概念與優化的形式化表達，第三部分將對 GAN 進行詳細的理論推導與分析，最後我們將實現前面的理論分析。
本文更注重理論與推導，更多生成對抗網路的概念與應用請參閱：
生成對抗網路基本概念
要理解生成對抗模型（GAN），首先要了解生成對抗模型可以拆分為兩個模組：一個是判別模型，另一個是生成模型。簡單來說就是：兩個人比賽，看是 A 的矛厲害，還是 B 的盾厲害。比如，我們有一些真實資料，同時也有一把隨機生成的假資料。A 拼命地把隨手拿過來的假資料模仿成真實資料，並揉進真實資料裡。B 則拼命地想把真實資料和假資料區分開。
這裡，A 就是一個生成模型，類似於造假幣的，一個勁地學習如何騙過 B。而 B 則是一個判別模型，類似於稽查警察，一個勁地學習如何分辨出 A 的造假技巧。
如此這般，隨著 B 的鑑別技巧越來越厲害，A 的造假技巧也是越來越純熟，而一個一流的假幣制造者就是我們所需要的。雖然 GAN 背後的思想十分直觀與樸素，但我們需要更進一步瞭解該理論背後的證明與推導。
總的來說，Goodfellow 等人提出來的 GAN 是通過對抗過程估計生成模型的新框架。在這種框架下，我們需要同時訓練兩個模型，即一個能捕獲資料分佈的生成模型 G 和一個能估計資料來源於真實樣本概率的判別模型 D。生成器 G 的訓練過程是最大化判別器犯錯誤的概率，即判別器誤以為資料是真實樣本而不是生成器生成的假樣本。因此，這一框架就對應於兩個參與者的極小極大博弈（minimax game）。在所有可能的函式 G 和 D 中，我們可以求出唯一均衡解，即 G 可以生成與訓練樣本相同的分佈，而 D 判斷的概率處處為 1/2，這一過程的推導與證明將在後文詳細解釋。
當模型都為多層感知機時，對抗性建模框架可以最直接地應用。為了學習到生成器在資料 x 上的分佈 P_g，我們先定義一個先驗的輸入噪聲變數 P_z(z)，然後根據 G(z;θ_g) 將其對映到資料空間中，其中 G 為多層感知機所表徵的可微函式。我們同樣需要定義第二個多層感知機 D(s;θ_d)，它的輸出為單個標量。D(x) 表示 x 來源於真實資料而不是 P_g 的概率。我們訓練 D 以最大化正確分配真實樣本和生成樣本的概率，因此我們就可以通過最小化 log(1-D(G(z))) 而同時訓練 G。也就是說判別器 D 和生成器對價值函式 V(G,D) 進行了極小極大化博弈：
我們後一部分會對對抗網路進行理論上的分析，該理論分析本質上可以表明如果 G 和 D 的模型複雜度足夠（即在非引數限制下），那麼對抗網路就能生成資料分佈。此外，Goodfellow 等人在論文中使用如下案例為我們簡要介紹了基本概念。
如上圖所示，生成對抗網路會訓練並更新判別分佈（即 D，藍色的虛線），更新判別器後就能將資料真實分佈（黑點組成的線）從生成分佈 P_g(G)（綠色實線）中判別出來。下方的水平線代表取樣域 Z，其中等距線表示 Z 中的樣本為均勻分佈，上方的水平線代表真實資料 X 中的一部分。向上的箭頭表示對映 x=G(z) 如何對噪聲樣本（均勻取樣）施加一個不均勻的分佈 P_g。（a）考慮在收斂點附近的對抗訓練：P_g 和 P_data 已經十分相似，D 是一個區域性準確的分類器。（b）在演算法內部迴圈中訓練 D 以從資料中判別出真實樣本，該迴圈最終會收斂到 D（x）=p_data（x）/（p_data（x）+p_g（x））。（c）隨後固定判別器並訓練生成器，在更新 G 之後，D 的梯度會引導 G（z）流向更可能被 D 分類為真實資料的方向。（d）經過若干次訓練後，如果 G 和 D 有足夠的複雜度，那麼它們就會到達一個均衡點。這個時候 p_g=p_data，即生成器的概率密度函式等於真實資料的概率密度函式，也即生成的資料和真實資料是一樣的。在均衡點上 D 和 G 都不能得到進一步提升，並且判別器無法判斷資料到底是來自真實樣本還是偽造的資料，即 D（x）= 1/2。
上面比較精簡地介紹了生成對抗網路的基本概念，下一節將會把這些概念形式化，並描述優化的大致過程。
概念與過程的形式化
理論完美的生成器
該演算法的目標是令生成器生成與真實資料幾乎沒有區別的樣本，即一個造假一流的 A，就是我們想要的生成模型。數學上，即將隨機變數生成為某一種概率分佈，也可以說概率密度函式為相等的：P_G(x)=P_data(x)。這正是數學上證明生成器高效性的策略：即定義一個最優化問題，其中最優生成器 G 滿足 P_G(x)=P_data(x)。如果我們知道求解的 G 最後會滿足該關係，那麼我們就可以合理地期望神經網路通過典型的 SGD 訓練就能得到最優的 G。
最優化問題
正如最開始我們瞭解的警察與造假者案例，定義最優化問題的方法就可以由以下兩部分組成。首先我們需要定義一個判別器 D 以判別樣本是不是從 P_data(x) 分佈中取出來的，因此有：
其中 E 指代取期望。這一項是根據「正類」（即辨別出 x 屬於真實資料 data）的對數損失函式而構建的。最大化這一項相當於令判別器 D 在 x 服從於 data 的概率密度時能準確地預測 D(x)=1，即：
另外一項是企圖欺騙判別器的生成器 G。該項根據「負類」的對數損失函式而構建，即：
因為 x<1 的對數為負，那麼如果最大化該項的值，則需要令均值 D(G(z))≈0，因此 G 並沒有欺騙 D。為了結合這兩個概念，判別器的目標為最大化：
給定生成器 G，其代表了判別器 D 正確地識別了真實和偽造資料點。給定一個生成器 G，上式所得出來的最優判別器可以表示為
（下文用 D_G*表示）。定義價值函式為：
然後我們可以將最優化問題表述為：
現在 G 的目標已經相反了，當 D=D_G*時，最優的 G 為最小化前面的等式。在論文中，作者更喜歡求解最優化價值函的 G 和 D 以求解極小極大博弈：
對於 D 而言要儘量使公式最大化（識別能力強），而對於 G 又想使之最小（生成的資料接近實際資料）。整個訓練是一個迭代過程。其實極小極大化博弈可以分開理解，即在給定 G 的情況下先最大化 V(D,G) 而取 D，然後固定 D，並最小化 V(D,G) 而得到 G。其中，給定 G，最大化 V(D,G) 評估了 P_G 和 P_data 之間的差異或距離。
最後，我們可以將最優化問題表達為：
上文給出了 GAN 概念和優化過程的形式化表達。通過這些表達，我們可以理解整個生成對抗網路的基本過程與優化方法。當然，有了這些概念我們完全可以直接在 GitHub 上找一段 GAN 程式碼稍加修改並很好地執行它。但如果我們希望更加透徹地理解 GAN，更加全面地理解實現程式碼，那麼我們還需要知道很多推導過程。比如什麼時候 D 能令價值函式 V(D,G) 取最大值、G 能令 V(D,G) 取最小值，而 D 和 G 該用什麼樣的神經網路（或函式），它們的損失函式又需要用什麼等等。總之，還有很多理論細節與推導過程需要我們進一步挖掘。
理論推導
在原 GAN 論文中，度量生成分佈與真實分佈之間差異或距離的方法是 JS 散度，而 JS 散度是我們在推導訓練過程中使用 KL 散度所構建出來的。所以這一部分將從理論基礎出發再進一步推導最優判別器和生成器所需要滿足的條件，最後我們將利用推導結果在數學上重述訓練過程。這一部分為我們下一部分理解具體實現提供了強大的理論支援。
KL 散度
在資訊理論中，我們可以使用夏農熵（Shannon entropy）來對整個概率分佈中的不確定性總量進行量化：
如果我們對於同一個隨機變數 x 有兩個單獨的概率分佈 P(x) 和 Q(x)，我們可以使用 KL 散度（Kullback-Leibler divergence）來衡量這兩個分佈的差異：
在離散型變數的情況下，KL 散度衡量的是，當我們使用一種被設計成能夠使得概率分佈 Q 產生的訊息的長度最小的編碼，傳送包含由概率分佈 P 產生的符號的訊息時，所需要的額外資訊量。
KL 散度有很多有用的性質，最重要的是它是非負的。KL 散度為 0 當且僅當 P 和 Q 在離散型變數的情況下是相同的分佈，或者在連續型變數的情況下是 『幾乎處處』 相同的。因為 KL 散度是非負的並且衡量的是兩個分佈之間的差異，它經常 被用作分佈之間的某種距離。然而，它並不是真的距離因為它不是對稱的：對於某些 P 和 Q，D_KL(P||Q) 不等於 D_KL(Q||P)。這種非對稱性意味著選擇 D_KL(P||Q) 還是 D_KL(Q||P) 影響很大。
在李弘毅的講解中，KL 散度可以從極大似然估計中推導而出。若給定一個樣本資料的分佈 P_data(x) 和生成的資料分佈 P_G(x;θ)，那麼 GAN 希望能找到一組引數θ使分佈 P_g(x;θ) 和 P_data(x) 之間的距離最短，也就是找到一組生成器引數而使得生成器能生成十分逼真的圖片。
現在我們可以從訓練集抽取一組真實圖片來訓練 P_G(x;θ) 分佈中的引數 θ 使其能逼近於真實分佈。因此，現在從 P_data(x) 中抽取 m 個真實樣本 {x^1,x^2,…,x^?}，其中符號「^」代表上標，即 x 中的第 i 個樣本。對於每一個真實樣本，我們可以計算 P_G(x^i;θ)，即在由 θ 確定的生成分佈中，x^i 樣本所出現的概率。因此，我們就可以構建似然函式：
其中「∏」代表累乘、P_G(x^i;θ) 代表第 i 個樣本在生成分佈出現的概率。從該似然函式可知，我們抽取的 m 個真實樣本在 P_G(x;θ) 分佈中全部出現的概率值可以表達為 L。又因為若 P_G(x;θ) 分佈和 P_data(x) 分佈相似，那麼真實資料很可能就會出現在 P_G(x;θ) 分佈中，因此 m 個樣本都出現在 P_G(x;θ) 分佈中的概率就會十分大。
下面我們就可以最大化似然函式 L 而求得離真實分佈最近的生成分佈（即最優的引數θ）：
在上面的推導中，我們希望最大化似然函式 L。若對似然函式取對數，那麼累乘 ∏ 就能轉化為累加 ∑，並且這一過程並不會改變最優化的結果。因此我們可以將極大似然估計化為求令 log[P_G(x;θ)] 期望最大化的 θ，而期望 E[logP_G(x;θ)] 可以展開為在 x 上的積分形式：∫P_data(x)logP_G(x;θ)dx。又因為該最優化過程是針對 θ 的，所以我們新增一項不含 θ 的積分並不影響最優化效果，即可新增 -∫P_data(x)logP_data(x)dx。新增該積分後，我們可以合併這兩個積分並構建類似 KL 散度的形式。該過程如下：
這一個積分就是 KL 散度的積分形式，因此，如果我們需要求令生成分佈 P_G(x;θ) 儘可能靠近真實分佈 P_data(x) 的引數 θ，那麼我們只需要求令 KL 散度最小的引數 θ。若取得最優引數 θ，那麼生成器生成的影象將顯得非常真實。
推導存在的問題
下面，我們必須證明該最優化問題有唯一解 G*，並且該唯一解滿足 P_G=P_data。不過在開始推導最優判別器和最優生成器之前，我們需要了解 Scott Rome 對原論文推導的觀點，他認為原論文忽略了可逆條件，因此最優解的推導不夠完美。
在 GAN 原論文中，有一個思想和其它很多方法都不同，即生成器 G 不需要滿足可逆條件。Scott Rome 認為這一點非常重要，因為實踐中 G 就是不可逆的。而很多證明筆記都忽略了這一點，他們在證明時錯誤地使用了積分換元公式，而積分換元卻又恰好基於 G 的可逆條件。Scott 認為證明只能基於以下等式的成立性：
該等式來源於測度論中的 Radon-Nikodym 定理，它展示在原論文的命題 1 中，並且表達為以下等式：
我們看到該講義使用了積分換元公式，但進行積分換元就必須計算 G^(-1)，而 G 的逆卻並沒有假定為存在。並且在神經網路的實踐中，它也並不存在。可能這個方法在機器學習和統計學文獻中太常見了，因此我們忽略了它。
最優判別器
在極小極大博弈的第一步中，給定生成器 G，最大化 V(D,G) 而得出最優判別器 D。其中，最大化 V(D,G) 評估了 P_G 和 P_data 之間的差異或距離。因為在原論文中價值函式可寫為在 x 上的積分，即將數學期望展開為積分形式：
其實求積分的最大值可以轉化為求被積函式的最大值。而求被積函式的最大值是為了求得最優判別器 D，因此不涉及判別器的項都可以看作為常數項。如下所示，P_data(x) 和 P_G(x) 都為標量，因此被積函式可表示為 a*D(x)+b*log(1-D(x))。
若令判別器 D(x) 等於 y，那麼被積函式可以寫為：
為了找到最優的極值點，如果 a+b≠0，我們可以用以下一階導求解：
如果我們繼續求表示式 f(y) 在駐點的二階導：
其中 a,b∈(0,1)。因為一階導等於零、二階導小於零，所以我們知道 a/(a+b) 為極大值。若將 a=P_data(x)、b=P_G(x) 代入該極值，那麼最優判別器 D(x)=P_data(x)/(P_data(x)+P_G(x))。
最後我們可以將價值函式表示式寫為：
如果我們令 D(x)=P_data/(P_data+P_G)，那麼我們就可以令價值函式 V(G,D) 取極大值。因為 f(y) 在定義域內有唯一的極大值，最優 D 也是唯一的，並且沒有其它的 D 能實現極大值。
其實該最優的 D 在實踐中並不是可計算的，但在數學上十分重要。我們並不知道先驗的 P_data(x)，所以我們在訓練中永遠不會用到它。另一方面，它的存在令我們可以證明最優的 G 是存在的，並且在訓練中我們只需要逼近 D。
最優生成器
當然 GAN 過程的目標是令 P_G=P_data。這對最優的 D 意味著什麼呢？我們可以將這一等式代入 D_G*的表示式中：
這意味著判別器已經完全困惑了，它完全分辨不出 P_data 和 P_G 的區別，即判斷樣本來自 P_data 和 P_G 的概率都為 1/2。基於這一觀點，GAN 作者證明了 G 就是極小極大博弈的解。該定理如下：
「當且僅當 P_G=P_data，訓練標準 C(G)=maxV(G,D) 的全域性最小點可以達到。」
以上定理即極大極小博弈的第二步，求令 V(G,D*) 最小的生成器 G（其中 G*代表最優的判別器）。之所以當 P_G(x)=P_data(x) 可以令價值函式最小化，是因為這時候兩個分佈的 JS 散度 [JSD(P_data(x) || P_G(x))] 等於零，這一過程的詳細解釋如下。
原論文中的這一定理是「當且僅當」宣告，所以我們需要從兩個方向證明。首先我們先從反向逼近並證明 C(G) 的取值，然後再利用由反向獲得的新知識從正向證明。設 P_G=P_data（反向指預先知道最優條件並做推導），我們可以反向推出：
該值是全域性最小值的候選，因為它只有在 P_G=P_data 的時候才出現。我們現在需要從正向證明這一個值常常為最小值，也就是同時滿足「當」和「僅當」的條件。現在放棄 P_G=P_data 的假設，對任意一個 G，我們可以將上一步求出的最優判別器 D* 代入到 C(G)=maxV(G,D) 中：
因為已知 -log4 為全域性最小候選值，所以我們希望構造某個值以使方程式中出現 log2。因此我們可以在每個積分中加上或減去 log2，並乘上概率密度。這是一個十分常見並且不會改變等式的數學證明技巧，因為本質上我們只是在方程加上了 0。
採用該技巧主要是希望能夠構建成含 log2 和 JS 散度的形式，上式化簡後可以得到以下表示式：
因為概率密度的定義，P_G 和 P_data 在它們積分域上的積分等於 1，即：
此外，根據對數的定義，我們有：
因此代入該等式，我們可以寫為：
現在，如果讀者閱讀了前文的 KL 散度（Kullback-Leibler divergence），那麼我們就會發現每一個積分正好就是它。具體來說：
KL 散度是非負的，所以我們馬上就能看出來 -log4 為 C(G) 的全域性最小值。
如果我們進一步證明只有一個 G 能達到這一個值，因為 P_G=P_data 將會成為令 C(G)=−log4 的唯一點，所以整個證明就能完成了。
從前文可知 KL 散度是非對稱的，所以 C(G) 中的 KL(P_data || (P_data+P_G)/2) 左右兩項是不能交換的，但如果同時加上另一項 KL(P_G || (P_data+P_G)/2)，它們的和就能變成對稱項。這兩項 KL 散度的和即可以表示為 JS 散度（Jenson-Shannon divergence）：
假設存在兩個分佈 P 和 Q，且這兩個分佈的平均分佈 M=(P+Q)/2，那麼這兩個分佈之間的 JS 散度為 P 與 M 之間的 KL 散度加上 Q 與 M 之間的 KL 散度再除以 2。
JS 散度的取值為 0 到 log2。若兩個分佈完全沒有交集，那麼 JS 散度取最大值 log2；若兩個分佈完全一樣，那麼 JS 散度取最小值 0。
因此 C(G) 可以根據 JS 散度的定義改寫為：
這一散度其實就是 Jenson-Shannon 距離度量的平方。根據它的屬性：當 P_G=P_data 時，JSD(P_data||P_G) 為 0。綜上所述，生成分佈當且僅當等於真實資料分散式時，我們可以取得最優生成器。
收斂
現在，該論文的主要部分已經得到了證明：即 P_G=P_data 為 maxV(G,D) 的最優點。此外，原論文還有額外的證明白表示：給定足夠的訓練資料和正確的環境，訓練過程將收斂到最優 G，我們並不詳細討論這一塊。
重述訓練過程
下面是推導的最後一步，我們會重述整個引數優化過程，並簡要介紹實際訓練中涉及的各個過程。
1.引數優化過程
若我們需要尋找最優的生成器，那麼給定一個判別器 D，我們可以將 maxV(G,D) 看作訓練生成器的損失函式 L(G)。既然設定了損失函式，那麼我們就能使用 SGD、Adam 等優化演算法更新生成器 G 的引數，梯度下降的引數優化過程如下：
其中求 L(G) 對θ_G 的偏導數涉及到求 max{V(G,D)} 的偏導數，這種對 max 函式求微分的方式是存在且可用的。
現在給定一個初始 G_0，我們需要找到令 V(G_0,D) 最大的 D_0*，因此判別器更新的過程也就可以看作損失函式為-V(G,D) 的訓練過程。並且由前面的推導可知，V(G,D) 實際上與分佈 P_data(x) 和 P_G(x) 之間的 JS 散度只差了一個常數項。因此這樣一個迴圈對抗的過程就能表述為：
- 給定 G_0，最大化 V(G_0,D) 以求得 D_0*，即 max[JSD(P_data(x)||P_G0(x)]；
- 固定 D_0*，計算θ_G1 ← θ_G0 −η(dV(G,D_0*) /dθ_G) 以求得更新後的 G_1；
- 固定 G_1，最大化 V(G_1,D_0*) 以求得 D_1*，即 max[JSD(P_data(x)||P_G1(x)]；
- 固定 D_1*，計算θ_G2 ← θ_G1 −η(dV(G,D_0*) /dθ_G) 以求得更新後的 G_2；
- 。。。
2.實際訓練過程
根據前面價值函式 V(G,D) 的定義，我們需要求兩個數學期望，即 E[log(D(x))] 和 E[log(1-D(G(z)))]，其中 x 服從真實資料分佈，z 服從初始化分佈。但在實踐中，我們是沒有辦法利用積分求這兩個數學期望的，所以一般我們能從無窮的真實資料和無窮的生成器中做取樣以逼近真實的數學期望。
若現在給定生成器 G，並希望計算 maxV(G,D) 以求得判別器 D，那麼我們首先需要從 P_data(x) 取樣 m 個樣本 {x^1,x^2,…,x^m}，從生成器 P_G(x) 取樣 m 個樣本
。因此最大化價值函式 V(G,D) 就可以使用以下表示式近似替代：
若我們需要計算上述的極大化過程，可以採用等價形式的訓練方法。若我們有一個二元分類器 D（引數為 θ_d），當然該分類器可以是深度神經網路，那麼極大化過程的輸出就為該分類器 D(x)。現在我們從 P_data(x) 抽取樣本作為正樣本，從 P_G(x) 抽取樣本作為負樣本，同時將逼近負 V(G,D) 的函式作為損失函式，因此我們就將其表述為一個標準的二元分類器的訓練過程：
在實踐中，我們必須使用迭代和數值計算的方法實現極小極大化博弈過程。在訓練的內部迴圈中完整地優化 D 在計算上是不允許的，並且有限的資料集也會導致過擬合。因此我們可以在 k 個優化 D 的步驟和一個優化 G 的步驟間交替進行。那麼我們只需慢慢地更新 G，D 就會一直處於最優解的附近，這種策略類似於 SML/PCD 訓練的方式。
綜上，我們可以描述整個訓練過程，對於每一次迭代：
- 從真實資料分佈 P_data 抽取 m 個樣本
- 從先驗分佈 P_prior(z) 抽取 m 個噪聲樣本
- 將噪聲樣本投入 G 而生成資料
，通過最大化 V 的近似而更新判別器引數θ_d，即極大化
，且判別器引數的更新迭代式為
以上是學習判別器 D 的過程。因為學習 D 的過程是計算 JS 散度的過程，並且我們希望能最大化價值函式，所以該步驟會重複 k 次。
- 從先驗分佈 P_prior(z) 中抽取另外 m 個噪聲樣本 {z^1,...,z^m}
- 通過極小化 V^tilde 而更新生成器引數θ_g，即極大化
，且生成器引數的更新迭代式為
以上是學習生成器引數的過程，這一過程在一次迭代中只會進行一次，因此可以避免更新太多而令 JS 散度上升。
實現
在上一期機器之心 GitHub 專案中，我們從零開始使用 TensorFlow 實現了簡單的 CNN，我們不僅介紹了 TensorFlow 基本的操作，並從全連線神經網路開始簡單地實現了 LeNet-5。在第一期 GitHub 實現中，我們陸續上傳了三段實現程式碼，第二次上傳補充的是全連線網路進行 MNIST 影象識別，我們逐行註釋了該模型的所有程式碼。第三次上傳補充的是使用 Keras 構建簡單的 CNN，我們同樣新增了大量註釋。本文是第二期 GitHub 實現，首先提供的是 GAN 實現程式碼與註釋，隨後我們會將以上的理論分析與實現程式碼相結合並展示在 Jupyter Notebook 中。雖然首次實現使用的是比較簡單的高階 API（Keras），但後面我們會補充使用 TensorFlow 構建 GAN 的程式碼與註釋。
GitHub github.com/jiqizhixin/…
機器之心首先使用基於 TensorFlow 後端的 Keras 實現了該生成對抗網路，並且我們在 MNIST 資料集上對模型進行訓練並生成了一系列手寫字型。這一章節只簡要解釋部分實現程式碼，更完整與詳細的註釋請檢視 GitHub 專案地址。
生成模型
首先需要定義一個生成器 G，該生成器需要將輸入的隨機噪聲變換為影象。以下是定義的生成模型，該模型首先輸入有 100 個元素的向量，該向量隨機生成於某分佈。隨後利用兩個全連線層接連將該輸入向量擴充套件到 1024 維和 128*7*7 維，後面就開始將全連線層所產生的一維張量重新塑造成二維張量，即 MNIST 中的灰度圖。我們注意到該模型採用的啟用函式為 tanh，所以也嘗試過將其轉換為 relu 函式，但發現生成模型如果轉化為 relu 函式，那麼它的輸出就會成為一片灰色。
由全連線傳遞的資料會經過幾個上取樣層和卷積層，我們注意到最後一個卷積層所採用的卷積核為 1，所以經過最後卷積層所生成的影象是一張二維灰度影象，更詳細的分析請檢視機器之心 GitHub 專案。
拼接
前面定義的是可生成影象的模型 G(z;θ_g)，而我們在訓練生成模型時，需要固定判別模型 D 以極小化價值函式而尋求更好的生成模型，這就意味著我們需要將生成模型與判別模型拼接在一起，並固定 D 的權重以訓練 G 的權重。下面就定義了這一過程，我們先新增前面定義的生成模型，再將定義的判別模型拼接在生成模型下方，並且我們將判別模型設定為不可訓練。因此，訓練這個組合模型才能真正更新生成模型的引數。
判別模型
判別模型相對來說就是比較傳統的影象識別模型，前面我們可以按照經典的方法採用幾個卷積層與最大池化層，而後再展開為一維張量並採用幾個全連線層作為架構。我們嘗試了將 tanh 啟用函式改為 relu 啟用函式，在前兩個 epoch 基本上沒有什麼明顯的變化。
訓練
訓練這一部分比較長，也值得我們進行詳細的探討。總的來說，以下訓練過程可簡述為：
- 載入 MNIST 資料
- 將資料分割為訓練與測試集，並賦值給變數
- 設定訓練模型的超引數
- 編譯模型的訓練過程
- 在每一次迭代內，抽取生成影象與真實影象，並打上標註
- 隨後將資料投入到判別模型中，並進行訓練與計算損失
- 固定判別模型，訓練生成模型並計算損失，結束這一次迭代
以上是下面訓練過程的簡要介紹，我們將結合上文的理論推導在 GitHub 中展示更詳細的分析。
試驗
在實踐中，我們訓練 30 個 epoch 後能得到如下不錯的生成結果：
當然，中間我們還發現很多訓練上的問題，比如說學習率、批量大小、啟用函式等。學習率一般我們設定為 0.001 到 0.0005，其它的學習率還有很多沒有測試。批量大小我們使用的比較小，例如 16、32、64 等，較小的批量大小可能訓練的 epoch 數就不需要那麼多。我們發現若將生成模型的啟用函式修改為 relu，那麼生成的影象很可能會顯示為一片灰色，生成模型和判別模型的訓練損失可能會表現為：
以上是在迭代 2000 次後所出現的情況，判別模型的損失一直在下降，而生成模型的損失一直在上升。而正常情況下，我發現生成模型的損失和判別模型的損失會在一定範圍內交替上升與下降，而迭代 2000 次後訓練損失情況為：
此外，我們還發現很多出現問題的生成模式，比如說如下生成結果更多是傾向於 0 與 1：
最後，附上我們結束訓練的標誌。
參考文獻：
- 生成對抗網路原論文：https://arxiv.org/pdf/1406.2661.pdf
- Goodfellow NIPS 2016 Tutorial：https://arxiv.org/abs/1701.00160
- 李弘毅MLDS17：http://speech.ee.ntu.edu.tw/~tlkagk/courses_MLDS17.html
- Scott Rome GAN 推導：http://srome.github.io//An-Annotated-Proof-of-Generative-Adversarial-Networks-with-Implementation-Notes/
本文為機器之心原創，轉載請聯絡本公眾號獲得授權。