UVa11054 Gergovia的酒交易(數學歸納法)

lonelyprince7發表於2021-08-15
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直線上有\(n\)個等距村莊，每個村莊要麼買酒，要麼賣酒。設第\(i\)個村莊對酒的需求為\(A_i\)(\(-1000 \leqslant A_i \leqslant 1000\))，其中\(A_i>0\)表示買酒，\(A_i<0\)表示賣酒。所有村莊供需平衡，即所有\(A_i\)之和等於0。
把\(k\)個單位的酒運到相鄰村莊去需要\(k\)個單位的勞動力，問最少需要多少勞動力才能滿足所有的村莊的要求。輸出保證在64位帶符號整數範圍內。

輸入輸出樣例

輸入

5
5 -4 1 -3 1
6
-1000 -1000 -1000 1000 1000 1000
0

輸出

9
9000

題解

這題可以採用數學歸納法的角度進行思考，
首先，我們先看基準情形，第\(1\)個村莊對酒的需求為\(A_i\)(可能需要買，可能需要賣)。那麼，不管是買酒還是賣酒，都需要第\(1\)個村莊和第\(2 \sim n\)個村莊之間存在大小為\(|A_i|\)的酒搬運(可能酒交易的雙方並不是第\(1\)個村莊和第\(2\)個村莊，但是必須經由這兩個村莊)。
接下來我們開始歸納，我們設\(last_i = \sum_{j=1}^{j=i}A_j\)表示第\(1 \sim i\)個村莊對酒的總需求（可能需要買，可能需要賣）。那麼，不管是買酒還是賣酒，都需要第\(i\)個村莊和第\(i+1\)個村莊之間存在大小為\(|last_i|\)的酒搬運(可能部分酒交易的雙方並不是第\(i+1\)和\(i\)個村莊，但是必須經由這兩個村莊)。我們用\(ans_i\)表示第\(1 \sim i\)個村莊需要的總搬運需求。
綜上，\(ans_i\)的遞推關係式可以表述如下：

\[\begin{equation} ans_i = \left\{ \begin{matrix} |A_i| , \quad i = 1 \\ ans_{i - 1} + |last_i|, \quad 1 \leqslant i \leqslant n \end{matrix} \right. \end{equation} \]

如果你覺得以上的數學式子還是過於抽象，那麼可以繼續看下面代入值計算的例子。我們設村莊數量為\(n=4\)，村莊\(1 \sim 4\)的酒需求分別是\(-3, +4, -5, +4\)，那麼我們模擬演算法的過程如下圖所示：

可以看到，最後求得的4個村莊的總共搬運勞動力\(ans_4 = 8\)。
我們再看村莊\(1 \sim 4\)的酒需求分別是\(+3, -4, +5, -4\)的情況。由上面的推導可知，這種情況其實只是把每個村莊的買賣情況取反了，但最後的總搬運量不變。我們模擬演算法的過程如下圖所示：

可以看到，最後求得的4個村莊的總共搬運勞動力和上面的情況一樣，仍然是\(ans_4 = 8\)。由此可得，我們的演算法正確。演算法的Python程式碼實現如下：

while True:
    n = int(input())
    if n == 0:
        break
    A = list(map(int, input().strip().split()))
    ans, last = 0, 0
    for i in range(n):
        last += A[i]
        ans += abs(last)
    print(ans)

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