Python小白的數學建模課-06 固定費用問題

youcans 發表於 2021-06-10

Python 例項介紹固定費用問題的建模與求解。

學習 PuLP工具包中處理複雜問題的快捷使用方式。

『Python小白的數學建模課 @ Youcans』帶你從數模小白成為國賽達人。



前文講到幾種典型的 0-1 規劃問題,給出了 PuLP 求解的案例。由於 0-1 規劃問題種類很多,又是數模競賽熱點,有必要再結合幾個例項進行介紹。

1. 固定費用問題案例解析

1.1 固定費用問題(Fixed cost problem)

固定費用問題,是指求解生產成本最小問題時,總成本包括固定成本和變動成本,而選擇不同生產方式會有不同的固定成本,因此總成本與選擇的生產方式有關。

固定費用問題,實際上是互斥的目標函式問題,對於不同的生產方式具有多個互斥的目標函式,但只有一個起作用。固定費用問題不能用一般的線性規劃模型求解。

一般地,設有 m 種生產方式可供選擇,採用第 j 種方式時的固定成本為 \(K_j\)、變動成本為 \(c_j\)、產量為 \(x_j\),則採用各種生產方式的總成本分別為:

\[min\;P_j = \begin{cases} k_j + c_j x_j,&x_j \geq 0\\ 0,&x_j = 0, j=1,...m \end{cases} \]

該類問題的建模方法,為了構造統一的目標函式,可以引入 m 個 0-1 變數 y_j 表示是否採用第 j 種生產方式:

\[y_j = \begin{cases} 0,不採用第\;j\;種生產方式\\ 1,採用第\;j\; 種生產方式 \end{cases} \]

於是可以構造新的目標函式和約束條件:

\[min\;f(x) = \sum_{j=1} ^m (k_j y_j + c_j x_j)\\ s.t.:\;x_j \leq y_j M,j=1,...m \]

M 是一個充分大的常數。


歡迎關注 『Python小白的數學建模課 @ Youcans』,每週更新數模筆記
Python小白的數學建模課-01.新手必讀
Python小白的數學建模課-02.資料匯入
Python小白的數學建模課-03.線性規劃
Python小白的數學建模課-04.整數規劃
Python小白的數學建模課-05.0-1規劃
Python數模筆記-PuLP庫
Python數模筆記-StatsModels統計迴歸
Python數模筆記-Sklearn
Python數模筆記-NetworkX
Python數模筆記-模擬退火演算法


1.2 案例問題描述

例題 1:
某服裝廠可以生產 A、B、C 三種服裝,生產不同種類服裝需要租用不同裝置,裝置租金、生產成本、銷售價格等指標如下表所示。

服裝種類 裝置租金 材料成本 銷售價格 人工工時 裝置工時 裝置可用工時
單位 (元) (元/件) (元/件) (小時/件) (小時/件) (小時)
A 5000 280 400 5 3 300
B 2000 30 40 1 0.5 300
C 2000 200 300 4 2 300

如果各類服裝的市場需求都足夠大,服裝廠每月可用人工時為 2000h,那麼應該如何安排生產計劃使利潤最大?


1.3 建模過程分析

首先要理解生產某種服裝就會發生裝置租金,租金只與是否生產該產品有關,而與生產數量無關,這就是固定成本。因此本題屬於固定費用問題。

有些同學下意識地認為是從 3 種產品中選擇一種,但題目中並沒有限定必須或只能生產一種產品,因此決策結果可以是都不生產、選擇 1 種或 2 種產品、3 種都生產。

決策結果會是什麼都不生產嗎?有可能的。

每種產品的利潤:(銷售價格 - 材料成本)× 生產數量 - 裝置租金

本題中如果裝置租金很高,決策結果就可能是什麼都不做時利潤最大,這是利潤為 0,至少不虧。

現在可以用固定費用問題的數學模型來描述問題了:

\(x_i\) 為是否生產第 \(i\) 種服裝,\(x_i\) 是 0/1變數:

\[x_i = \begin{cases} 0,不生產第\;i\;種服裝\\ 1,生產第\;i\;種服裝,i=1,2,3 \end{cases} \]

\(y_i\) 為生產第 \(i\) 種服裝的數量, \(y_i\) 是整數型別。說 \(y_i\) 是實數變數的同學,你經常穿半條褲子嗎?

根據條件確定決策變數的取值範圍。例如,本例中的產量 \(y_i\) 顯然要大於等於 0。進一步地,題目並沒有直接給出 \(y_i\) 的取值上限,但可以從裝置單件工時與裝置可用工時的關係推匯出取值上限為 [100, 600, 150],也可以從單位人工工時與人工可用工時的關係推匯出上限 [400, 2000, 500],最後取較小者為 [100, 600, 150]。

數學模型就可以表達為:

\[max\; z = 120 y_1 + 10 y_2 + 100 y_3 - 5000 x_1 - 2000 x_2 - 2000 x_3\\ s.t.:\;\begin{cases} 5 y_1 + y_2 + 4 y_3 \leq 2000\\ 3 y_1 \leq 300 x_1\\ 0.5 y_2 \leq 300 x_2\\ 2 y_3 \leq 300 x_3 \\ 0 \leq y_1 \leq 100\\ 0 \leq y_2 \leq 600\\ 0 \leq y_3 \leq 150\\ \end{cases} \]


1.4 PuLP 求解固定費用問題的程式設計

程式設計求解建立的數學模型,用標準模型的優化演算法對模型求解,得到優化結果。

模型求解的程式設計步驟與之前的線性規劃、整數規劃問題並沒有什麼區別,這就是 PuLP工具包的優勢。

(0)匯入 PuLP庫函式

    import pulp

(1)定義一個規劃問題

    FixedCostP1 = pulp.LpProblem("Fixed_cost_problem", sense=pulp.LpMaximize)  # 定義問題,求最大值

pulp.LpProblem 用來定義問題的建構函式。"FixedCostP1"是使用者定義的問題名。
引數 sense 指定問題求目標函式的最小值/最大值 。本例求最大值,選擇 “pulp.LpMaximize” 。

(2)定義決策變數

    x1 = pulp.LpVariable('A', cat='Binary')  # 定義 x1,0-1變數,是否生產 A 產品
    x2 = pulp.LpVariable('B', cat='Binary')  # 定義 x2,0-1變數,是否生產 B 產品
    x3 = pulp.LpVariable('C', cat='Binary')  # 定義 x3,0-1變數,是否生產 C 產品
    y1 = pulp.LpVariable('yieldA', lowBound=0, upBound=100, cat='Integer')  # 定義 y1,整型變數
    y2 = pulp.LpVariable('yieldB', lowBound=0, upBound=600, cat='Integer')  # 定義 y2,整型變數
    y3 = pulp.LpVariable('youCans', lowBound=0, upBound=150, cat='Integer')  # 定義 y3,整型變數

pulp.LpVariable 用來定義決策變數的函式。引數 cat 用來設定變數型別,' Binary ' 表示0/1變數(用於0/1規劃問題),' Integer ' 表示整數變數。'lowBound'、'upBound' 分別表示變數取值範圍的下限和上限。

(3)新增目標函式

    FixedCostP1 += pulp.lpSum(-5000*x1-2000*x2-2000*x3+120*y1+10*y2+100*y3)  # 設定目標函式 f(x)

(4)新增約束條件

    FixedCostP1 += (5*y1 + y2 + 4*y3 <= 2000)  # 不等式約束
    FixedCostP1 += (3*y1 - 300*x1 <= 0)  # 不等式約束
    FixedCostP1 += (0.5*y2 - 300*x2 <= 0)  # 不等式約束
    FixedCostP1 += (2*y3 - 300*x3 <= 0)  # 不等式約束

  新增約束條件使用 "問題名 += 約束條件表示式" 格式。
  約束條件可以是等式約束或不等式約束,不等式約束可以是 小於等於 或 大於等於,分別使用關鍵字">="、"<="和"=="。

(5)求解

    FixedCostP1.solve()

  solve() 是求解函式,可以對求解器、求解精度進行設定。


1.5 Python 例程:固定費用問題

# mathmodel07_v1.py
# Demo05 of mathematical modeling algorithm
# Solving assignment problem with PuLP.
# Copyright 2021 Youcans, XUPT
# Crated:2021-06-04
# Python小白的數學建模課 @ Youcans

import pulp      # 匯入 pulp 庫

# 主程式
def main():
    # 固定費用問題(Fixed cost problem)
    print("固定費用問題(Fixed cost problem)")
    # 問題建模:
    """
        決策變數:
            y(i) = 0, 不生產第 i 種產品
            y(i) = 1, 生產第 i 種產品            
            x(i), 生產第 i 種產品的數量, i>=0 整數
            i=1,2,3
        目標函式:
            min profit = 120x1 + 10x2+ 100x3 - 5000y1 - 2000y2 - 2000y3
        約束條件:
            5x1 + x2 + 4x3 <= 2000
            3x1 <= 300y1
            0.5x2 <= 300y2
            2x3 <= 300y3
        變數取值範圍:Youcans XUPT
            0<=x1<=100, 0<=x2<=600, 0<=x3<=150, 整數變數
            y1, y2 ,y3 為 0/1 變數 
    """
    # 1. 固定費用問題(Fixed cost problem), 使用 PuLP 工具包求解
    # (1) 建立優化問題 FixedCostP1: 求最大值(LpMaximize)
    FixedCostP1 = pulp.LpProblem("Fixed_cost_problem_1", sense=pulp.LpMaximize)  # 定義問題,求最大值
    # (2) 建立變數
    x1 = pulp.LpVariable('A', cat='Binary')  # 定義 x1,0-1變數,是否生產 A 產品
    x2 = pulp.LpVariable('B', cat='Binary')  # 定義 x2,0-1變數,是否生產 B 產品
    x3 = pulp.LpVariable('C', cat='Binary')  # 定義 x3,0-1變數,是否生產 C 產品
    y1 = pulp.LpVariable('yieldA', lowBound=0, upBound=100, cat='Integer')  # 定義 y1,整型變數
    y2 = pulp.LpVariable('yieldB', lowBound=0, upBound=600, cat='Integer')  # 定義 y2,整型變數
    y3 = pulp.LpVariable('yieldC', lowBound=0, upBound=150, cat='Integer')  # 定義 y3,整型變數
    # (3) 設定目標函式
    FixedCostP1 += pulp.lpSum(-5000*x1-2000*x2-2000*x3+120*y1+10*y2+100*y3)  # 設定目標函式 f(x)
    # (4) 設定約束條件
    FixedCostP1 += (5*y1 + y2 + 4*y3 <= 2000)  # 不等式約束
    FixedCostP1 += (3*y1 - 300*x1 <= 0)  # 不等式約束
    FixedCostP1 += (0.5*y2 - 300*x2 <= 0)  # 不等式約束
    FixedCostP1 += (2*y3 - 300*x3 <= 0)  # 不等式約束
    # (5) 求解 youcans
    FixedCostP1.solve()
    # (6) 列印結果
    print(FixedCostP1.name)
    if pulp.LpStatus[FixedCostP1.status] == "Optimal":  # 獲得最優解
        for v in FixedCostP1.variables():  # youcans
            print(v.name, "=", v.varValue)  # 輸出每個變數的最優值
        print("Youcans F(x) = ", pulp.value(FixedCostP1.objective))  # 輸出最優解的目標函式值
    return

if __name__ == '__main__':  # Copyright 2021 YouCans, XUPT
    main()  # Python小白的數學建模課 @ Youcans

1.6 Python 例程執行結果

Welcome to the CBC MILP Solver 
Version: 2.9.0 
Build Date: Feb 12 2015 

Result - Optimal solution found

Fixed_cost_problem_1
A = 1.0
B = 1.0
C = 1.0
yieldA = 100.0
yieldB = 600.0
yieldC = 150.0
Max F(x) =  24000.0

  從固定費用問題模型的求解結果可知,A、B、C 三種服裝都生產,產量分別為 A/100、B/600、C/150 時獲得最大利潤為:24000。



2. PuLP 求解規劃問題的快捷方法

2.1 PuLP 求解固定費用問題的程式設計

通過從線性規劃、整數規劃、0-1規劃到上例中的混合0-1規劃問題,我們已經充分體會到 PuLP 使用相同的步驟和引數處理不同問題所帶來的便利。

但是,如果問題非常複雜,例如變數數量很多,約束條件複雜,逐個定義變數、逐項編寫目標函式與約束條件的表示式,不僅顯得重複冗長,不方便修改對變數和引數的定義,而且在輸入過程中容易發生錯誤。因此,我們希望用字典、列表、迴圈等快捷方法來進行變數定義、目標函式和約束條件設定。

PuLP 提供了快捷建模的程式設計方案,下面我們仍以上節中的固定費用問題為例進行介紹。本例中的問題、條件和引數都與上節完全相同,以便讀者進行對照比較快捷方法的具體內容。

(0)匯入 PuLP 庫函式

    import pulp

(1)定義一個規劃問題

    FixedCostP2 = pulp.LpProblem("Fixed_cost_problem", sense=pulp.LpMaximize)  # 定義問題,求最大值

(2)定義決策變數

    types = ['A', 'B', 'C']  # 定義產品種類
    status = pulp.LpVariable.dicts("生產決策", types, cat='Binary')  # 定義 0/1 變數,是否生產該產品
    yields = pulp.LpVariable.dicts("生產數量", types, lowBound=0, upBound=600, cat='Integer')  # 定義整型變數

本例中的快捷方法使用列表 types 定義 0/1 變數 status 和 整型變數 yields,不論產品的品種有多少,都只有以上幾句,從而使程式大為簡化。

(3)新增目標函式

    fixedCost = {'A':5000, 'B':2000, 'C':2000}  # 各產品的 固定費用
    unitProfit = {'A':120, 'B':10, 'C':100}  # 各產品的 單位利潤
    FixedCostP2 += pulp.lpSum([(yields[i]*unitProfit[i]- status[i]*fixedCost[i]) for i in types])

雖然看起來本例中定義目標函式的程式語句較長,但由於使用字典定義引數、使用 for 迴圈定義目標函式,因此程式更加清晰、簡明、便於修改引數、不容易輸入錯誤。

(4)新增約束條件

    humanHours = {'A':5, 'B':1, 'C':4}  # 各產品的 單位人工工時
    machineHours = {'A':3.0, 'B':0.5, 'C':2.0}  # 各產品的 單位裝置工時
    maxHours = {'A':300, 'B':300, 'C':300}  # 各產品的 最大裝置工時
    FixedCostP2 += pulp.lpSum([humanHours[i] * yields[i] for i in types]) <= 2000  # 不等式約束
    for i in types:
        FixedCostP2 += (yields[i]*machineHours[i] - status[i]*maxHours[i] <= 0)  # 不等式約束

快捷方法對於約束條件的定義與對目標函式的定義相似,使用字典定義引數,使用迴圈定義約束條件,使程式簡單、結構清楚。

注意本例使用了兩種不同的迴圈表達方式:語句內使用 for 迴圈遍歷列表實現所有變數的線性組合,標準的 for 迴圈結構實現多組具有相似結構的約束條件。讀者可以對照數學模型及上例的例程,理解這兩種定義約束條件的快捷方法。

(5)求解和結果的輸出

    # (5) 求解
    FixedCostP2.solve()
    # (6) 列印結果
    print(FixedCostP2.name)
    temple = "品種 %(type)s 的決策是:%(status)s,生產數量為:%(yields)d"
    if pulp.LpStatus[FixedCostP2.status] == "Optimal":  # 獲得最優解
        for i in types:
            output = {'type': i,
                      'status': '同意' if status[i].varValue else '否決',
                      'yields': yields[i].varValue}
            print(temple % output) # [email protected]
        print("最大利潤 = ", pulp.value(FixedCostP2.objective))  # 輸出最優解的目標函式值

由於快捷方法使用列表或字典定義變數,對求解的優化結果也便於實現結構化的輸出。


2.2 Python 例程:PuLP 快捷方法

# mathmodel07_v1.py
# Demo05 of mathematical modeling algorithm
# Solving assignment problem with PuLP.
# Copyright 2021 Youcans, XUPT
# Crated:2021-06-04
# Python小白的數學建模課 @ Youcans

import pulp      # 匯入 pulp 庫


# 主程式
def main():
    # 2. 問題同上,PuLP 快捷方法示例
    # (1) 建立優化問題 FixedCostP2: 求最大值(LpMaximize)
    FixedCostP2 = pulp.LpProblem("Fixed_cost_problem_2", sense=pulp.LpMaximize)  # 定義問題,求最大值
    # (2) 建立變數
    types = ['A', 'B', 'C']  # 定義產品種類
    status = pulp.LpVariable.dicts("生產決策", types, cat='Binary')  # 定義 0/1 變數,是否生產該產品
    yields = pulp.LpVariable.dicts("生產數量", types, lowBound=0, upBound=600, cat='Integer')  # 定義整型變數
    # (3) 設定目標函式
    fixedCost = {'A':5000, 'B':2000, 'C':2000}  # 各產品的 固定費用
    unitProfit = {'A':120, 'B':10, 'C':100}  # 各產品的 單位利潤
    FixedCostP2 += pulp.lpSum([(yields[i]*unitProfit[i]- status[i]*fixedCost[i]) for i in types])
    # (4) 設定約束條件
    humanHours = {'A':5, 'B':1, 'C':4}  # 各產品的 單位人工工時
    machineHours = {'A':3.0, 'B':0.5, 'C':2.0}  # 各產品的 單位裝置工時
    maxHours = {'A':300, 'B':300, 'C':300}  # 各產品的 最大裝置工時
    FixedCostP2 += pulp.lpSum([humanHours[i] * yields[i] for i in types]) <= 2000  # 不等式約束
    for i in types:
        FixedCostP2 += (yields[i]*machineHours[i] - status[i]*maxHours[i] <= 0)  # 不等式約束
    # (5) 求解 youcans
    FixedCostP2.solve()
    # (6) 列印結果
    print(FixedCostP2.name)
    temple = "品種 %(type)s 的決策是:%(status)s,生產數量為:%(yields)d"
    if pulp.LpStatus[FixedCostP2.status] == "Optimal":  # 獲得最優解
        for i in types:
            output = {'type': i,
                      'status': '同意' if status[i].varValue else '否決',
                      'yields': yields[i].varValue}
            print(temple % output)
        print("最大利潤 = ", pulp.value(FixedCostP2.objective))  # 輸出最優解的目標函式值

    return

if __name__ == '__main__':  # Copyright 2021 YouCans, XUPT
    main()  # Python小白的數學建模課 @ Youcans


2.3 Python 例程執行結果

Welcome to the CBC MILP Solver 
Version: 2.9.0 
Build Date: Feb 12 2015 

Result - Optimal solution found

Fixed_cost_problem_2
品種 A 的決策是:同意,生產數量為:100
品種 B 的決策是:同意,生產數量為:600
品種 C 的決策是:同意,生產數量為:150
最大利潤 =  24000.0

  本例的問題、條件和引數都與上節完全相同,只是採用 PuLP 提供的快捷建模的程式設計方案,優化結果也與 PuLP 標準方法完全相同,但本例使用了結構化的輸出顯示,使輸出結果更為直觀。



3. 課後練習

  1. 修改生產某種服裝的裝置租金,例如將 A 產品租金調整為 10000、20000元,觀察求解結果有何差異?
  2. 將各種裝置租金都調整為 20000元,觀察求解結果有何差異?該結果有何現實意義?
  3. 如果希望找到影響是否生產某種服裝決策的裝置租金的大小,即租金低於該值就可以生產、高於該值則不能生產,應該如何處理?

【本節完】


版權宣告:

歡迎關注『Python小白的數學建模課 @ Youcans』 原創作品

原創作品,轉載必須標註原文連結。

Copyright 2021 Youcans, XUPT

Crated:2021-06-04


歡迎關注 『Python小白的數學建模課 @ Youcans』,每週更新數模筆記
Python小白的數學建模課-01.新手必讀
Python小白的數學建模課-02.資料匯入
Python小白的數學建模課-03.線性規劃
Python小白的數學建模課-04.整數規劃
Python小白的數學建模課-05.0-1規劃
Python小白的數學建模課-A1.國賽賽題型別分析
Python小白的數學建模課-A2.2021年數維杯C題探討
Python小白的數學建模課-A3.12個新冠疫情數模競賽賽題及短評
Python數模筆記-PuLP庫
Python數模筆記-StatsModels統計迴歸
Python數模筆記-Sklearn
Python數模筆記-NetworkX
Python數模筆記-模擬退火演算法