文章首發於微信公眾號：幾何思維
1.故事起源
有一隻螞蟻出去尋找食物，無意中進入了一個迷宮。螞蟻只能向上、下、左、右4個方向走，迷宮中有牆和水的地方都無法通行。這時螞蟻犯難了，怎樣才能找出到食物的最短路徑呢？
2.思考
螞蟻在起點時，有4個選擇，可以向上、下、左、右某一個方向走1步。
如果螞蟻走過了一段距離，此時也依然只有4個選擇。
當然要排除之前走過的地方（不走回頭路，走了也只會更長）和無法通過的牆和水。
螞蟻想，還好我會影分身。如果每一步都分身成4個螞蟻，向4個方向各走1步，這樣最先找到食物的肯定就是最短的路徑了（因為每一步都把能走的地方都走完了，肯定找不出更短的路徑了）。
而且還能看出，第1步會到達所有到起點距離為1的地方，第2步也會到達所有距離為2的地方。
如此類推，第n步會覆蓋所有到起點最短距離為n的地方。
3.問題建模
把迷宮地圖放在二維陣列中，能通行的地方為0，牆和水的地方為負數。
每一步向4個方向走，可以通過當前座標\((x,y)\)加上一個方向向量。
這個其實就是寬度優先搜尋(BFS)的思想。
4.寬度優先搜尋(BFS)
又稱廣度優先搜尋，優先向四周擴充套件子節點，是最簡便的圖的搜尋演算法之一，一般通過佇列來實現。
4.1 佇列
是一種特殊的線性表，它只允許在表的前端進行刪除操作，而在表的後端進行插入操作，即先進先出。
佇列一般通過陣列實現，對該陣列增加一些操作上的限制。
但上面的實現有一些缺陷，當佇列滿時，也就是tail指標移動到隊尾，這時就無法再插入資料，但前面的元素已經出隊了，可能還有空缺的位置。
為了能高效利用空間，對該佇列增加一點改進，也就是迴圈佇列的產生。
4.2 迴圈佇列
把佇列想象成一個首尾相接的環形。
陣列實現，需要多預留一個空間。如果head=tail時，無法判斷是隊空還是隊滿，所以佔用一個空間，通過tail+1與head的關係來判斷是否隊滿。
4.3 佇列實現BFS
實現步驟如下：
- 將起點加入佇列。
- 從隊首取出一個節點，通過該節點向4個方向擴充套件子節點，並依次加入隊尾。
- 重複以上步驟，直至隊空或已找到目標位置。
迴歸迷宮問題，到起點的距離為1,2,3...的點會依次入隊。
當head指標遍歷到距離為2的點時，向4周擴充套件距離為3的節點，並繼續入隊。
5.程式碼實現
5.1 變數定義
// 方向向量
const int direction[4][2] = {{0, 1},
{-1, 0},
{0, -1},
{1, 0}};
const int MAXM = 100, MAXN = 100, QUEUE_LENGTH = 5;
// 佇列中的節點
struct Node {
int x, y, distance;
Node() {}
Node(int xx, int yy, int d) : x(xx), y(yy), distance(d) {}
};
int n, m, step = 0, map[MAXM][MAXN], visit[MAXM][MAXN];
Node start, target;
5.2 BFS標準模板
void bfs() {
Node queue[QUEUE_LENGTH];
int head = 0, tail = 1;
queue[0] = Node(start.x, start.y, 0);
visit[start.x][start.y] = 0;
while (head != tail) {
int x = queue[head].x;
int y = queue[head].y;
int distance = queue[head].distance;
head = (head + 1) % QUEUE_LENGTH;
for (int i = 0; i < 4; ++i) {
int dx = x + direction[i][0];
int dy = y + direction[i][1];
if (dx >= 0 && dx < m && dy >= 0 && dy < n && visit[dx][dy] == -1 && map[dx][dy] >= 0) {
// 表示從i方向走過來的，方便後續回溯路徑
visit[dx][dy] = i;
if (dx == target.x && dy == target.y) {
cout << "已到目標點，最短距離為" << distance + 1 << endl;
step = distance + 1;
return;
}
if ((tail + 1) % QUEUE_LENGTH == head) {
cout << "佇列滿" << endl;
return;
}
// 新座標入隊
queue[tail] = Node(dx, dy, distance + 1);
tail = (tail + 1) % (QUEUE_LENGTH);
}
}
}
}
5.3 路徑回溯
void printPath() {
int x, y, d, path[MAXM][MAXN] = {0};
for (int i = 0; i < m; ++i) {
for (int j = 0; j < n; ++j) {
path[i][j] = -1;
}
}
x = target.x;
y = target.y;
path[start.x][start.y] = 0;
// 路徑回溯
while (!(x == start.x && y == start.y)) {
path[x][y] = step--;
d = visit[x][y];
x -= direction[d][0];
y -= direction[d][1];
}
// 路徑列印
for (int i = 0; i < m; ++i) {
for (int j = 0; j < n; ++j) {
if (path[i][j] >= 0) {
cout << path[i][j];
} else {
cout << "-";
}
}
cout << endl;
}
}
5.4 資料輸入
int main() {
cin >> m >> n;
for (int i = 0; i < m; ++i) {
for (int j = 0; j < n; ++j) {
cin >> map[i][j];
visit[i][j] = -1;
}
}
cin >> start.x >> start.y >> target.x >> target.y;
bfs();
if (step > 0) printPath();
return 0;
}
5.5 測試結果
輸入資料：
5 5
0 0 -1 0 0
0 0 0 0 -2
-1 0 -2 0 0
0 0 0 -1 0
0 -2 0 0 0
1 1 4 3
輸出：
已到目標點，最短距離為5
路徑列印：
-----
-0---
-1---
-23--
--45-
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