Statement
樹，給 \(m\) 條帶權路徑 \((a,b,v)\)，\(q\) 次詢問包含 \((u,v)\) 的路徑中的第 \(k\) 小權值.
Solution
好題！這篇題解延伸出了很多東西。
首先路徑的包含關係轉為矩形（二維限制關係）是比較顯然的.
具體地，\((u,v)\) 包含 \((a,b)\) 有兩種情況：
- \(u,v\) 無祖先關係：\(a\) 在 \(u\) 子樹內，且 \(b\) 在 \(v\) 子樹內，寫出來就是 \(\text{dfn}(u)\le\text{dfn}(a)\le\text{dfn}(u)+\text{siz}(u)-1\) 且 \(\text{dfn}(v)\le\text{dfn}(b)\le\text{dfn}(v)+\text{siz}(v)-1\).
- \(u,v\) 有祖先關係：設 \(u\) 為 \(v\) 祖先，\(w\) 為 \(u\to v\) 路徑上的第二個點（\(u\) 向 \(v\) 方向的第一個兒子），則有 \(a\) 在 \(v\) 子樹內，且 \(b\) 在 \(w\) 子樹外，寫出來：\(\text{dfn}(v)\le\text{dfn}(a)\le\text{dfn}(v)+\text{siz}(v)-1\) 且 \(1\le\text{dfn}(b)\le\text{dfn}(w)-1\) 或 \(\text{dfn}(w)+\text{siz}(w)\le\text{dfn}(b)\le n\).
注意到這樣的 \((a,b)\) 的取值範圍就是矩形，第二種情況是兩個矩形，然後這是一步轉化.
然後現在是 \((u,v)\) 被包含，也即問題變成了求包含一個點的權值第 \(k\) 小矩形.
這怎麼做呢，一種顯然的方法是整體二分：一次二分 \(x\) 就把所有權值 \(\le x\) 的矩形加入，判斷這個點被包含了多少次.
那如果我把題改成強制線上怎麼辦呢！！！
先不考慮強制線上，我們可以把每個詢問點離線下來排序，問題變成了需要支援區間插入一個數、區間刪除一個數、單點查第 \(k\) 大.
一看就很樹套樹，那假裝我們使用外層線段樹、內層平衡樹，考慮標記永久化，發現是三 log 的.
具體地，對於區間插入，我們找到外層線段樹上 \(\log\) 個點，對這 \(\log\) 個點進行插入，刪除類似. 這樣他們兒子沒有應用到這些更新，怎麼辦呢，你查一個葉子時，找出它以及它的所有 \(\log\) 個祖先，對這 \(\log\) 棵平衡樹求他們並起來的第 k 大.
眾所周知，這隻能最外層二分、用排名之和判定來做（二逼平衡樹），這樣修改是雙 log、查一次是三隻 log 的，甚至不如整體二分！！！
怎麼辦呢，我們發現問題在於多棵平衡樹無法一起二分，那我們改成外層線段樹、內層權值線段樹.
這樣，還是同樣地標記永久化，對於區間插入，對內層 \(\log\) 棵權值線段樹進行單點加，區間刪除類似；對於單點查，我們同樣地拎出根到葉子路徑上 \(\log\) 棵權值線段樹，發現這時就可以多棵權值線段樹一起二分了，複雜度降為雙 log.（也可參考二逼平衡樹的多種做法的對比）
這樣我們就做完了離線問題，那強制線上怎麼辦呢？
發現直接持久化一下就行了，（可持久化樹套樹，參考 bzoj3489），時間並未增加，空間升為雙 log.
具體怎麼做呢，假如我們已經可以持久化了，那我們把掃描線的過程持久下來，線上詢問直接在對應版本詢問即可；
發現外層持久化是容易的（只維護內層線段樹的根），而外層複製一次節點，內層線段樹肯定不能全部複製，發現因為是單點修改，還是隻複製發生更改的節點即可，然後做完了.
那如果是區間插入、區間刪除、區間查第 k 小，可以離線，怎麼辦呢！！！
發現外層線段樹區間查詢，經過的點數是 \(\log\) 級別的，然後把這些點拿出來一起二分就行了.
強制線上是一樣的，複雜度都沒有增加.
那我們迴歸到原問題，我常數太大了怎麼辦！！！
嘗試把外層線段樹改成樹狀陣列，區間插入、刪除可以轉化為字首插入、刪除，單點查可以變成兩段字首相減得到的樹的 kth，這同樣是單 log 的.
發現這樣可以擴充套件到區間查詢.
然後樹狀陣列理論上是可以持久化的……
當然還有其他各種做法，比如 K-D Tree，樹上莫隊 + 值域分塊等等。
總結：一道題的價值不僅在於過掉它，更是在於要總結方法、結論、trick 和規律，完善你的思考、思維方式，更好的是你透過這道題進行延伸、溫故而知新，比如想他的加強版可不可以這樣做，如果不行還能怎樣做，這樣就可以自己出題目，可以為師矣！