劍指 Offer 14- II. 剪繩子 II

劍指 Offer 14- II. 剪繩子 II                                     參考面試題14- II. 剪繩子 II（數學推導 / 貪心思想 + 快速冪求餘，清晰圖解）

給你一根長度為 n 的繩子，請把繩子剪成整數長度的 m 段（m、n都是整數，n>1並且m>1），每段繩子的長度記為 k[0],k[1]...k[m - 1] 。請問 k[0]*k[1]*...*k[m - 1] 可能的最大乘積是多少？例如，當繩子的長度是8時，我們把它剪成長度分別為2、3、3的三段，此時得到的最大乘積是18。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如計算初始結果為：1000000008，請返回 1。

 

示例 1：

輸入: 2
輸出: 1
解釋: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:

輸入: 10
輸出: 36
解釋: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36
 

提示：

2 <= n <= 1000

基本思路：由於要取模，剪繩子I的動態規劃方案不能用了，本題另外一種思路：貪心，剪成多少段(k)最大？每一段(x)多長合適？

• 直觀想法k段一樣長時最大

算數幾何不等式：                其中  

• 每一段的長度x多大合適？越大越好？直覺上是2或者3，因為若n=200 ,2^100>100*100;

該問題等價於，n=kx,求y=x^k使其最大。,等價於x取何值時，最大,令,兩邊取對數，然後求導，x=e時最大，最接近e的整數為3，可以適當的對比下2和3 

結論：對於一個給定長度的繩子， 當所有繩子段等長且每段繩子長度為3時，乘積最大，

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class Solution {
public:
    const int mod=1e9+7;
    int cuttingRope(int n) {
        if(n<4)
            return n-1;
        int a=n/3-1;  //預留
        int b=n%3;
        int dp[3]={3,4,6};
        long long  x=3;
        long long  remain=1;
        while(a>0){
            if(a&1){
                remain=remain*x%mod;
            }
            x=x*x%mod;  //快速冪的思想
            a/=2;
        }
        return remain*dp[b]%mod;

    }
};