正題

題目連結:https://www.luogu.com.cn/problem/P4492

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題目大意

開始有一個節點，第$i$次在一個兒子不超過$2$的節點下面長出一個新兒子編號為$i$。求所有方案下樹的路徑長度和。

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解題思路

考慮計算每條邊的貢獻，設$g_i$表示大小為$i$的樹的形態個數，$f_i$表示所有大小為$i$的樹的路徑長度和。然後題目給出的要求就是子節點編號比父節點大。

那麼$g$有轉移$$g_{i+1}=\sum _{j=0}^i{g}_j{g}_{i-j}{C}_i^j$$
$f$的轉移複雜一點，列舉子樹大小$j$和$i-j$，那麼子樹$j$自己的貢獻就是$g_j\ast j\ast (n-j)$，然後要乘上$g_{i-j}$表示每種左子樹形態對應的樹的形態個數。右邊$i-j$同理，就有轉移方程$$f_{i+1}=\sum _{j=0}^i(g_i{g}_j(j\ast (n-j)+(i-j)\ast (n-i+j))+f_j\ast g_{i-j}+f_{i-j}\ast g_j)\ast C_i^j$$

時間複雜度$O(n^2)$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2100;
ll n,p,f[N],g[N],c[N][N];
int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&p);
	g[0]=c[0][0]=1;
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		for(ll j=0;j<=i;j++)
			c[i][j]=((j?c[i-1][j-1]:0)+c[i-1][j])%p;
	for(ll i=0;i<n;i++){
		for(ll j=0;j<=i;j++){
			(g[i+1]+=g[j]*g[i-j]%p*c[i][j])%=p;
			(f[i+1]+=(((i-j)*(n-i+j)%p+j*(n-j)%p)*g[j]%p*g[i-j]%p+f[j]*g[i-j]%p+f[i-j]*g[j]%p)%p*c[i][j]%p)%=p;
		}
	}
	printf("%lld\n",f[n]);
	return 0;
}