CF773D Perishable Roads

RingweEH發表於2020-12-10
3D

Statement

Problem Link

給定一個 \(n\) 點的無向完全圖，有邊權。對於每個 \(i\in [1,n]\) ，求以 \(i\) 為根節點的生成樹中，最小的 \(\sum d(x)\) 是多少。

定義 \(d(x)\) ：\(x\) 到根節點所有邊中權值最小的一條

Solution

不愧是 tourist （這場比賽裡）最喜歡的題啊……

由於代價是取 \(\min\) 的，考慮找最小的邊權。如果這條邊已經被連到了根，那麼剩下的點直接連向這個點即可（完全圖）。

設最小的邊為 \(edmn\) ，易知最優解（或之一）的上面部分一定是一條根到 \(edmn\) 兩個端點之一的鏈。

由於這個東西是個完全圖，而且代價是取 \(\min\) 的，所以其實鏈下面的部分是樹是鏈完全沒有關係（因為代價已經被 \(edmn\) 給確定了），形態不重要。下面直接將最優解所選擇的邊當成鏈來處理。

那麼把所有邊權減去 \(edmn\) ，最後再加上 \((n-1)\times edmn\) ，不影響答案。

現在設這個最優解的路徑為 \(w_1,\dots,w_{n-1}\) .令 \(k\) 為路徑上標號最小的、邊權為 0 的邊（ 也就是最小的 \(k\) 滿足 \(w_k=0\) ）

有結論： 對於所有的 \(i\leq k-3\) ，有 \(w_i>w_{i+1}\)

Proof

（看了半天才懂……）

假設現在有這樣一條路徑，\(M\) 是根節點，\(G\) 是令 \(w_k=0\) 的節點。

Graph1

此處 \(w_{CD}\) 不滿足上面的性質。那麼可以將其替換如下：

graph2

\(x\) 是新的邊權。設原來 \(M\sim C\) 的最小值為 \(t\) ，那麼減少貢獻為：

\[\delta =calc(D)+calc(E)=\min(w_{CD},t)+\min(w_{DE},w_{CD},t)\\ \because w_{CD}>t,w_{DE}<w_{CD}\\ \therefore \min{(w_{CD},t)}=t,\min(w_{DE},w_{CD},t)=\min(w_{DE},t)\\ \delta=t+\min(w_{DE},t) \]

增加的貢獻是：

\[\Delta =calc(F')-calc(F)=\min(w_{CF},t)-w_{DE}<t<t+\min(w_{DE},t) \]

那麼就有：

\[\delta>\Delta \]

所以這樣替換過後，貢獻一定會減少，就不符合最優解的前提了。

Q.E.D.

有了這個結論事情就簡單多了。除了最後兩條邊，其他邊的貢獻（由於遞增）就是邊權，可以建一個超級源點 \(S\) ，對於所有 0 邊的端點連 0 邊權的邊，（當然要加上原圖中的所有邊）直接跑最短路。

現在來討論 \(k-2\leq i\leq k-1\) 的情況。

  • \(w_{k-2}>w_{k-1}\) 。那麼情況就等同於整條路徑符合上面的結論，直接按原先的邊權跑最短路即可，無需特殊處理。
  • \(w_{k-2}\leq w_{k-1}\) 。設當前的路徑是這樣的：A---(k-2)----B----(k-1)----C---0---- ，那麼顯然，這樣的路徑中，我們先走到 \(A\) ，然後通過兩條路徑走到 0 邊的一個端點 \(C\) ，（根據前面的結論，\(w_i\) 顯然都比 \(w_{k-2}\) 大，所以不用考慮）代價是 \(2\times w_{k-2}\) .那麼就在之前的基礎上再加上一條 \(S,i\) 之間，\(\min\{dis[i][j]\times 2\}\) 的邊即可（注意，需要滿足 \(i\neq j\) 且 \(i,j\) 均不是 0 邊端點，相當於在列舉 \(w_{k-2}\) ）。

那麼這樣就做完了。

妙啊。不愧是 tourist 。

順便一說，Dijkstra 就直接樸素的好了，反正之前的操作已經 \(\mathcal{O}(n^2)\) 了

Code

//Author: RingweEH
const ll inf=1e16;
const int N=2010;
struct edge
{
    int to,nxt; ll val;
}e[N*N<<1];
int tot=0,head[N],n,S;
bool tag[N],vis[N];
ll mp[N][N],dis[N],mn[N];

void add( int u,int v,ll w )
{
    e[++tot].to=v; e[tot].val=w; e[tot].nxt=head[u]; head[u]=tot;
}

int main()
{
    n=read(); S=n+1; ll edmn=inf;
    for ( int i=1; i<n; i++ )
        for ( int j=i+1; j<=n; j++ )
            mp[j][i]=mp[i][j]=read(),edmn=min( edmn,mp[i][j] );
    for ( int i=1; i<=n; i++ )
        for ( int j=1; j<=n; j++ )
            if ( i^j )
            {
                mp[i][j]-=edmn; add( i,j,mp[i][j] ); 
                if ( !mp[i][j] ) tag[i]=1,add( S,i,0 );
            }
    memset( mn,0x7f,sizeof(mn) );
    for ( int i=1; i<=n; i++ )
        for ( int j=1; j<=n; j++ )
            if ( (!tag[i]) && (!tag[j]) && (i^j) ) mn[i]=min( mn[i],mp[i][j]*2ll );
    for ( int i=1; i<=n; i++ )
        add( S,i,mn[i] );
    memset( dis,0x3f,sizeof(dis) ); dis[S]=0;
    for ( int j=1; j<=n; j++ )
    {
        ll mnval=inf; int mnpos=0;
        for ( int i=1; i<=n+1; i++ )
            if ( !vis[i] && dis[i]<mnval ) mnval=dis[i],mnpos=i;
        vis[mnpos]=1;
        for ( int i=head[mnpos]; i; i=e[i].nxt )
            dis[e[i].to]=min( dis[e[i].to],dis[mnpos]+e[i].val );
    }

    ll addval=(n-1)*edmn;
    for ( int i=1; i<=n; i++ )
        printf( "%lld\n",dis[i]+addval );
    
    return 0;
}

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