2020CCPC長春題解 I - Kawaii Courier
題目大意：給一個樹，讓你求每個節點走到根節點的期望的d*x^d，d為走過的邊個數。走法是每次隨機等概率走到相鄰的點。
題目分析： 相對於經典的距離d的期望，這裡要求的是d*x^d的期望。
我們設F(a)=a *x^a
考察F(a+b)與F(a) F(b)的關係，很遺憾，沒法直接表示。
引入，輔助函式G(a)=x^a
那麼F（a+b)=F(a)*G(b)+F(b)*G(a)
而G(a+b)=G(a)*G(b)
那麼分別用兩個DFS求出F，G。再用一個DFS得到答案即可。複雜度O（nlogn) n是dfs複雜度，log是逆元複雜度。
程式碼如下：
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 const long long mod=1e9+7; 4 const long long maxn=1e5+10; 5 long long b[maxn],c[maxn],n,k,px,qx,nx,u,v,ans; 6 vector<long long> a[2*maxn]; 7 long long ksm(long long x,long long t) 8 { 9 long long ans=1; 10 long long res=x; 11 while (t) 12 { 13 if (t&1) ans=ans*res%mod; 14 res=res*res%mod; 15 t=t>>1; 16 } 17 return ans; 18 } 19 long long _inv(long long x) 20 { 21 x=(x%mod+mod)%mod; 22 return ksm(x,mod-2); 23 } 24 void init() 25 { 26 scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&px,&qx); 27 nx=(px*ksm(qx,mod-2))%mod; 28 for (int i=1;i<n;i++) 29 { 30 scanf("%lld%lld",&u,&v); 31 a[u].push_back(v); 32 a[v].push_back(u); 33 } 34 } 35 void dfs1(long long x,long long fa) 36 { 37 long long sum=0; 38 for (int i=0;i<a[x].size();i++) 39 { 40 if (a[x][i]==fa) continue; 41 dfs1(a[x][i],x); 42 sum=(sum+b[a[x][i]])%mod; 43 } 44 b[x]=(nx*_inv(a[x].size()-nx*sum%mod))%mod; 45 } 46 void dfs2(long long x,long long fa) 47 { 48 long long sum1=0,sum2=0; 49 for (int i=0;i<a[x].size();i++) 50 { 51 if (a[x][i]==fa) continue; 52 dfs2(a[x][i],x); 53 sum1=(sum1+b[a[x][i]])%mod; 54 sum2=(sum2+c[a[x][i]])%mod; 55 } 56 c[x]=((nx*b[x]%mod)*(sum1+sum2)%mod+nx)%mod; 57 c[x]=c[x]*_inv(a[x].size()-nx*sum1%mod)%mod; 58 } 59 void get_ans(long long x,long long fa,long long f,long long g) 60 { 61 if (x!=k) ans=ans^(x*((f*c[x]+g*b[x])%mod)%mod); 62 for (int i=0;i<a[x].size();i++) 63 { 64 if (a[x][i]==fa) continue; 65 get_ans(a[x][i],x,f*b[x]%mod,(f*c[x]+g*b[x])%mod); 66 } 67 } 68 int main() 69 { 70 init(); 71 dfs1(k,k); 72 dfs2(k,k); 73 b[k]=1; 74 c[k]=0; 75 ans=0; 76 get_ans(k,k,1,0); 77 printf("%lld\n",ans); 78 return 0; 79 }