二分查詢的迴圈條件及指標終止位置問題

别来丶發表於2024-07-09

常見的二分搜尋法的迴圈迭代方法分為：左閉右開 和 左閉右閉 兩種方式

左閉右開：由於右邊界開放，例如[1,1)是矛盾的，因此迴圈條件為while(l<r)。閉合指後續迭代仍需要進行對其元素進行比較。因此每次迭代結束，左指標l移動到中點的下一位l = mid+1，而不需要移動到中點位置，因為中點位置已被和目標值比較過；開放意味著後續不需要再進行比較，因此每次右指標r需要移動到已經比較過的中點位置mid；
左閉右閉：由於右邊界閉合，例如[1,1]是合理的，因此迴圈條件為 while(l<=r)；由於左右邊界都閉合，這意味著後續迭代需要對左右邊界即l和r指向的元素進行判斷。因此每次迭代結束，左指標l移動到中點的下一位l = mid+1，右指標r移動到中點的前一個位置r = mid-1，因為mid位置已經被比較過了。

詳細解釋為什麼while(l<r)時需要右指標r移動到mid，而while(l<=r)時需要右指標r移動到mid-1：首先，這兩種情況下，每次迴圈的不變數都是左指標要移動到mid的下一位（左閉）。

當while(l<r)時，我們考慮l+1=r這種情況，即l指標位於r指標的前一位，此時mid指向l：（1）若目標值target < nums[mid]=nums[l]，此時r指標移動到mid也就是l的位置，l=r正常結束。（2）若目標值target > nums[mid]=nums[l]，l指標移動到mid的下一位r的位置，此時l=r迴圈結束，但r指向的元素未被判斷。這就要求我們在先前已經對右指標r指向的元素進行過判斷，結束才是合理的。因此，因此當移動右指標時，我們必須保證右指標指向的元素是在先前已經被判斷過的，所以每次右指標要移動到mid的位置，若移動到mid-1,那麼r指標指向的位置就沒有被判斷，在上述情況下，就是錯誤的結束。同時這就是右開的由來，每次迴圈不用判斷r指向的元素，因為它在上次移動到的是已經比較過的元素的位置。
當while(l<=r)，同樣考慮l+1=r這種情況：（1）情況同上相同。（2）當目標值target > nums[mid]=nums[l]時，l指標移動到mid的下一位r的位置，l=r仍未結束，此時mid=l=r對r進行判斷。這意味著右指標r指向的元素在後續會被判斷到，這就要求，我們每次迭代改變右指標r的位置時，是先前未被判斷過的即可，即每次r指標移動到mid-1的位置。這是右閉的由來，因為右邊界r的指向未被比較過，需要在後續比較。