AC自動機學習筆記

Vocanda發表於2020-10-25
筆記

定義

Aho-Corasick automaton，該演算法在1975年產生於貝爾實驗室，是著名的多模匹配演算法。
具體問題大致為多個模式串在一個文字串中匹配查詢的問題。
AC自動機利用某些操作阻止了模式串匹配階段的回溯,將時間複雜度優化到了 \(O(n)\)(n為文字串長度)

前置芝士

基本的 \(Trie\) 樹，\(KMP\) 的失配指標思想。
不會 \(KMP\) 可以先去學習 \(KMP\)演算法

AC 自動機

思想其實挺簡單的，就是在一棵由模式串構造出的字典樹上進行文字串的匹配。
但是如果每次匹配都從根開始匹配，演算法複雜度問題比較大，所以就有了 AC 自動機。
其思想與 \(KMP\) 一致，對於字典樹上的節點建立失配指標，匹配失敗的話直接跳轉到失配指標繼續匹配。
下邊給出一個例子：
我們現在有模式串： abc,bcd,acd,cd。
那麼我們可以建出一個這樣的字典樹

然後給出一個很長的文字串，一個一個從根開始掃複雜度非常不友好，所以我們就會用到 \(fail\) 指標。
\(fail\) 指標的建立是找到兩個串的最長公共字尾，然後連起來，所以我們這個樹的 \(fail\) 指標應該就是這樣的：

每一次匹配失敗之後，從最長的公共字尾開始匹配，這樣一定是對的。

接下來我們關心的就是如何去找 \(fail\) 指標。
首先我們建一棵字典樹，然後利用 \(BFS\) 找，首先把根節點下的點入對，然後找每次出隊的點作為父親，列舉所有可能的兒子（字母一共26個），如果有這個兒子，那麼這個兒子的 \(fail\) 指標就是父親 \(fail\) 指標的當前兒子。如果沒有當前兒子，那麼就把當前節點的當前兒子設為當前節點 \(fail\) 指標的當前兒子。（可能說的不太清楚，當前兒子指的是列舉的兒子是誰）。

下邊給出構造 \(fail\) 指標的程式碼：

queue<int>q;
inline void build(){
	for(int i = 0;i < 26;++i){
		if(t[0][i]) q.push(t[0][i]);
	}
	while(!q.empty()){
		int x = q.front();
		q.pop();
		for(int i = 0;i < 26;++i){
			if(t[x][i]){
				fail[t[x][i]] = t[fail[x]][i];
				q.push(t[x][i]);
			}
			else t[x][i] = t[fail[x]][i];
		}
	}
}

然後在查詢的時候，對於文字串的每個字元，就從根節點一直跳 \(fail\) 指標查詢，一直向下尋找,直到匹配失敗( \(fail\) 指標指向根或者當前節點已找過).

查詢程式碼

inline void query(char *ch){
	int len = strlen(ch + 1);
	int rt = 0;
	for(int i = 1;i <= len;++i){
		int x = ch[i] - 'a';
		rt = t[rt][x];//從該字母節點開始跳
		for(int j = rt;j;j = fail[j])ans[end[j]]++;//直到匹配失敗。
	}
}

到這裡，AC自動機的內容就講解完了，主要就是 \(fail\) 指標的建立和查詢時跳 \(fail\) 指標的操作。

例題

下邊給出洛谷上的三道模板題以供練習：

【模板】AC自動機（簡單版）

題目

題目連結

分析

板子（題目說了），查詢文字串中有多少個不同的模式串。
我們在建立字典樹的時候，對於最末尾節點用陣列 \(end\) 記錄一下有多少個串以這個點作為結尾，在查詢跳 \(fail\) 的時候，累加上跳到的點的 \(end\) 即可。

程式碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define gc() getchar()
#define read() ({ register int x = 0, f = 1; register char c = gc(); while(c < '0' || c > '9') { if (c == '-') f = -1; c = gc();} while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + (c & 15), c = gc(); f * x; })
char buf[1 << 20], *p1, *p2;
const int maxn = 1e6+10;
char s[maxn];
int n;
int t[maxn][30];
int tot,end[maxn],fail[maxn];
inline void insert(char *ch){//建立字典樹
	int rt = 0;
	int len = strlen(ch+1);
	for(int i = 1;i <= len;++i){
		int x = ch[i] - 'a';
		if(!t[rt][x])t[rt][x] = ++tot;
		rt = t[rt][x];
	}
	end[rt]++;//記錄當前點是幾個單詞的結尾
}
inline void build(){//找fail指標
	queue<int>q;
	memset(fail,0,sizeof(fail));
	for(int i = 0;i < 26;++i){
		if(t[0][i])q.push(t[0][i]);
	}
	while(!q.empty()){
		int x = q.front();
		q.pop();
		for(int i = 0;i < 26;++i){
			if(t[x][i]){
				fail[t[x][i]] = t[fail[x]][i];
				q.push(t[x][i]);
			}
			else{
				t[x][i] = t[fail[x]][i];
			}
		}
	}
}
inline int query(char *ch){//查詢
	int len = strlen(ch+1);
	int rt = 0,ans = 0;
	for(int i = 1;i <= len;++i){
		int x = ch[i] - 'a';
		rt = t[rt][x];
		for(int j = rt;j && end[j] != -1;j = fail[j]){
			ans += end[j];//累加
			end[j] = -1;//清空
		}
	}
	return ans;
}
int main(){
	n = read();
	for(int i = 1;i <= n;++i){
		scanf("%s",s+1);
		insert(s);
	}
	build();
	scanf("%s",s+1);
	printf("%d\n",query(s));
	return 0;
}

【模板】AC自動機（加強版）

題目

題目連結

分析

題目要我們找到出現最多的模式串出現的次數和是誰，那麼我們就在建立字典樹的時候，記錄一下以每個點作為結尾的串是哪個串。
在進行查詢的時候，每次跳 \(fail\) 指標跳到某個點的時候，就給當前點記錄的串的下標的答案++（有些繞，一會可以結合程式碼看看）。
最後對於 \(ans\) 陣列掃兩遍即可。

程式碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define gc() getchar()
#define read() ({ register int x = 0, f = 1; register char c = gc(); while(c < '0' || c > '9') { if (c == '-') f = -1; c = gc();} while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + (c & 15), c = gc(); f * x; })
char buf[1 << 20], *p1, *p2;
const int maxn = 5e5+10;
int t[maxn][30];
char s[maxn];
char ss[200][maxn];
int tot;
int fail[maxn],end[maxn],ans[maxn];
inline void insert(char *ch,int now){
	int len = strlen(ch+1);
	int rt = 0;
	for(int i = 1;i <= len;++i){
		int x = ch[i] - 'a';
		if(!t[rt][x])t[rt][x] = ++tot;
		rt = t[rt][x];
	}
	end[rt] = now;//記錄當前點是誰的結尾
}
queue<int>q;
inline void build(){//日常建fail指標
	for(int i = 0;i < 26;++i){
		if(t[0][i])q.push(t[0][i]);
	}
	while(!q.empty()){
		int x = q.front();q.pop();
		for(int i = 0;i < 26;++i){
			if(t[x][i]){
				fail[t[x][i]] = t[fail[x]][i];
				q.push(t[x][i]);
			}
			else{
				t[x][i] = t[fail[x]][i];
			}
		}
	}
}
inline void query(char *ch){
	int len = strlen(ch + 1);
	int rt = 0;
	for(int i = 1;i <= len;++i){
		int x = ch[i] - 'a';
		rt = t[rt][x];
		for(int j = rt;j;j = fail[j])ans[end[j]]++;//當前節點代表的單詞出現個數++
	}
}
int main(){
	int n;
	while(1){
		scanf("%d",&n);if(n == 0)break;
		memset(t,0,sizeof(t));//多測注意清空
		memset(end,0,sizeof(end));
		memset(fail,0,sizeof(fail));
		memset(ans,0,sizeof(ans));
		for(int i = 1;i <= n;++i){
			scanf("%s",ss[i]+1);
			insert(ss[i],i);
		}
		build();
		scanf("%s",s+1);
		query(s);
		int mx = 0;//下邊掃兩邊即可
		for(int i = 1;i <= n;++i)if(ans[i] > mx)mx = ans[i];
		printf("%d\n",mx);
		for(int i = 1;i <= n;++i)if(ans[i] == mx)printf("%s\n",ss[i]+1);
	}
	return 0;
}

【模板】AC自動機（二次加強版）

題目

題目連結

分析

與加強版差不了多少，只不過是查詢的東西不一樣了。
我們現在要統計每個串出現多少次，那麼我們就記錄一下每個串的終點是誰。
在查詢的時候，我們不需要跳 \(fail\) ，改成對於每個點訪問次數++，然後再從每個點的 \(fail\) 向當前點建邊。
利用差分，我們把每個點訪問次數++，就相當與把根到當前點上所有點次數都++，這樣只需要建立一棵 \(fail\) 指標連線的樹，然後 \(dfs\) 一遍求出差分答案即可。

程式碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){
	int x = 0, w = 1;
	char ch = getchar();
	for(; ch > '9' || ch < '0'; ch = getchar()) if(ch == '-') w = -1;
	for(; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = x * 10 + ch - '0';
	return x * w;
}
const int maxn = 2e6+10;
char s[maxn];
int tot;
int fail[maxn],end[maxn],sum[maxn],t[maxn][30];
inline void insert(char *ch,int now){
	int	len = strlen(ch+1);
	int rt = 0;
	for(int i = 1;i <= len;++i){
		int x = ch[i] - 'a';
		if(!t[rt][x])t[rt][x] = ++tot;
		rt = t[rt][x];
	}
	end[now] = rt;//記錄當前串結尾是哪個點
}
queue<int>q;
inline void build(){
	for(int i = 0;i < 26;++i){
		if(t[0][i]) q.push(t[0][i]);
	}
	while(!q.empty()){
		int x = q.front();
		q.pop();
		for(int i = 0;i < 26;++i){
			if(t[x][i]){
				fail[t[x][i]] = t[fail[x]][i];
				q.push(t[x][i]);
			}
			else t[x][i] = t[fail[x]][i];
		}
	}
}
inline void query(char *ch){
	int len = strlen(ch+1);
	int rt = 0;
	for(int i = 1;i <= len;++i){
		int x = ch[i] - 'a';
		rt = t[rt][x];
		sum[rt]++;//每個點訪問次數++
	}
}
struct Node{
	int v,next;
}e[maxn<<1];
bool vis[maxn];
int head[maxn],cnt;
inline void Add(int x,int y){
	e[++cnt].v = y;
	e[cnt].next = head[x];
	head[x] = cnt;
}
inline void dfs(int x){
	vis[x] = 1;
	for(int i = head[x];i;i = e[i].next){
		int v = e[i].v;
		if(vis[v])continue;
		dfs(v);
		sum[x] += sum[v];
	}
}
int main(){
	int n = read();
	for(int i = 1;i <= n;++i){
		scanf("%s",s+1);
		insert(s,i);
	}
	build();
	scanf("%s",s+1);
	query(s);
	for(int i = 0;i <= tot;++i)Add(fail[i],i);//建樹
	dfs(0);//差分
	for(int i = 1;i <= n;++i){
		printf("%d\n",sum[end[i]]);//按結尾點出現次數知道串出現次數
	}
}

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