交叉熵、相對熵及KL散度通俗理解

原文轉載自http://blog.csdn.net/u012162613/article/details/44239919

本文是《Neural networks and deep learning》概覽 中第三章的一部分，講machine learning演算法中用得很多的交叉熵代價函式。

1. 從方差代價函式說起

代價函式經常用方差代價函式（即採用均方誤差MSE），比如對於一個神經元（單輸入單輸出，sigmoid函式）,定義其代價函式為：

<script id="MathJax-Element-1" type="math/tex; mode=display">C = \frac{{y-a}^2}{2}</script>
其中y是我們期望的輸出，a為神經元的實際輸出【 a=σ(z), where z=wx+b 】。

在訓練神經網路過程中，我們通過梯度下降演算法來更新w和b，因此需要計算代價函式對w和b的導數：

<script id="MathJax-Element-2" type="math/tex; mode=display"> \frac{\partial C}{\partial \omega} = (a - y)\sigma'(z)x = a\sigma'(z)</script>
<script id="MathJax-Element-3" type="math/tex; mode=display">\frac{\partial C}{\partial b} = (a - y)\sigma'(z) = a\sigma'(z)</script>
然後更新w、b：
w <—— w - η* ∂C/∂w = w - η * a *σ′(z)

b <—— b - η* ∂C/∂b = b - η * a * σ′(z)
因為sigmoid函式的性質，導致σ′(z)在z取大部分值時會很小（如下圖示出來的兩端，幾近於平坦），這樣會使得w和b更新非常慢（因為η * a * σ′(z)這一項接近於0）。

2. 交叉熵代價函式（cross-entropy cost function）

為了克服這個缺點，引入了交叉熵代價函式（下面的公式對應一個神經元，多輸入單輸出）：

<script id="MathJax-Element-4" type="math/tex; mode=display">C = -\frac{1}{n}\sum_{x}\left[y\ln a + (1 - y)\ln(1-a)\right]</script>
其中y為期望的輸出，a為神經元實際輸出【a=σ(z), where z=∑Wj*Xj+b】
與方差代價函式一樣，交叉熵代價函式同樣有兩個性質：

• 非負性。（所以我們的目標就是最小化代價函式）
• 當真實輸出a與期望輸出y接近的時候，代價函式接近於0.(比如y=0，a～0；y=1，a~1時，代價函式都接近0)。

另外，它可以克服方差代價函式更新權重過慢的問題。我們同樣看看它的導數：

<script id="MathJax-Element-5" type="math/tex; mode=display"> \frac{\partial C}{\partial \omega_j} = \frac{1}{n}\sum_{x}x_j(\sigma(z) - y).</script>
<script id="MathJax-Element-6" type="math/tex; mode=display"> \frac{\partial C}{\partial b} = \frac{1}{n}\sum_{x}(\sigma(z) - y).</script>
可以看到，導數中沒有σ′(z)這一項，權重的更新是受σ(z)−y這一項影響，即受誤差的影響。所以當誤差大的時候，權重更新就快，當誤差小的時候，權重的更新就慢。這是一個很好的性質。

3. 總結

• 當我們用sigmoid函式作為神經元的啟用函式時，最好使用交叉熵代價函式來替代方差代價函式，以避免訓練過程太慢。
• 不過，你也許會問，為什麼是交叉熵函式？導數中不帶σ′(z)項的函式有無數種，怎麼就想到用交叉熵函式？這自然是有來頭的，更深入的討論就不寫了，少年請自行了解。
• 另外，交叉熵函式的形式是−[ylna+(1−y)ln(1−a)]而不是 −[alny+(1−a)ln(1−y)]，為什麼？因為當期望輸出的y=0時，lny沒有意義；當期望y=1時，ln(1-y)沒有意義。而因為a是sigmoid函式的實際輸出，永遠不會等於0或1，只會無限接近於0或者1，因此不存在這個問題。

4. 還要說說：log-likelihood cost

對數似然函式也常用來作為softmax迴歸的代價函式，在上面的討論中，我們最後一層（也就是輸出）是通過sigmoid函式，因此採用了交叉熵代價函式。而深度學習中更普遍的做法是將softmax作為最後一層，此時常用的是代價函式是log-likelihood cost。

In fact, it’s useful to think of a softmax output layer with log-likelihood cost as being quite similar to a sigmoid output layer with cross-entropy cost。

其實這兩者是一致的，logistic迴歸用的就是sigmoid函式，softmax迴歸是logistic迴歸的多類別推廣。log-likelihood代價函式在二類別時就可以化簡為交叉熵代價函式的形式。具體可以參考UFLDL教程

5. 熵與KL散度

連結：https://www.zhihu.com/question/41252833/answer/108777563

熵的本質是夏農資訊量 (log1p )  <script id="MathJax-Element-102" type="math/tex">(\log\frac{1}{p})</script>的期望。
現有關於樣本集的2個概率分佈p和q，其中p為真實分佈，q非真實分佈。按照真實分佈p來衡量識別一個樣本的所需要的編碼長度的期望(即平均編碼長度)為： H(p)=∑ i p(i)∗log1p(i)   <script id="MathJax-Element-103" type="math/tex">H(p) = \sum_{i}p(i)*\log\frac{1}{p(i)}</script>，如果使用錯誤分佈q來表示來自真實分佈p的平均編碼長度，則應該是： H(p,q)=∑ i p(i)∗log1q(i) 。  <script id="MathJax-Element-104" type="math/tex">H(p,q) = \sum_{i}p(i)*\log\frac{1}{q(i)}。</script>因為用q來編碼的樣本來自分佈p，所以期望H(p,q)中概率是p(i)。H(p,q)我們稱之為“交叉熵”。

比如含有4個字母(A,B,C,D)的資料集中，真實分佈p=(1/2, 1/2, 0, 0)，即A和B出現的概率均為1/2，C和D出現的概率都為0。計算H(p)為1，即只需要1位編碼即可識別A和B。如果使用分佈Q=(1/4, 1/4, 1/4, 1/4)來編碼則得到H(p,q)=2，即需要2位編碼來識別A和B(當然還有C和D，儘管C和D並不會出現，因為真實分佈p中C和D出現的概率為0，這裡就欽定概率為0的事件不會發生啦)。

可以看到上例中根據非真實分佈q得到的平均編碼長度H(p,q)大於根據真實分佈p得到的平均編碼長度H(p)。事實上，根據Gibbs’ inequality可知，H(p,q)>=H(p)恆成立，當q為真實分佈p時取等號。我們將由q得到的平均編碼長度比由p得到的平均編碼長度多出的bit數稱為“相對熵”： D(p||q)=H(p,q)−H(p)=∑ i p(i)∗logp(i)q(i) ，  <script id="MathJax-Element-105" type="math/tex">D(p||q) = H(p,q) - H(p) = \sum_{i}p(i)*\log\frac{p(i)}{q(i)}，</script>其又被稱為KL散度(Kullback–Leibler divergence，KLD) Kullback–Leibler divergence。它表示2個函式或概率分佈的差異性：差異越大則相對熵越大，差異越小則相對熵越小，特別地，若2者相同則熵為0。注意，KL散度的非對稱性。

比如TD-IDF演算法就可以理解為相對熵的應用：詞頻在整個語料庫的分佈與詞頻在具體文件中分佈之間的差異性。

交叉熵可在神經網路(機器學習)中作為損失函式，p表示真實標記的分佈，q則為訓練後的模型的預測標記分佈，交叉熵損失函式可以衡量p與q的相似性。交叉熵作為損失函式還有一個好處是使用sigmoid函式在梯度下降時能避免均方誤差損失函式學習速率降低的問題，因為學習速率可以被輸出的誤差所控制。

PS：通常“相對熵”也可稱為“交叉熵”，因為真實分佈p是固定的，D(p||q)由H(p,q)決定。當然也有特殊情況，彼時2者須區別對待。

注：轉載的這篇博文對於資訊熵的舉列子裡，資訊熵的求解中對數是以2為底的，即是 log 2   <script id="MathJax-Element-106" type="math/tex">\log_2</script>。
關於資訊熵和相對熵這個問題，知乎上ID為CyberRep的答主答的挺好，連結：https://www.zhihu.com/question/41252833

參考：
轉自：https://zhuanlan.zhihu.com/p/29321631