jzoj 6797. 【2014廣州市選day2】hanoi

Sport_River發表於2020-09-12

Description

你對經典的hanoi塔問題一定已經很熟悉了。有三根柱子，n個大小不一的圓盤，要求大盤不能壓在小盤上，初始時n個圓盤都在第一根柱子上，最少要多少步才能挪到最後一根柱子上？
現在我們來將hanoi塔擴充套件一下，由三根柱子擴充套件到四根柱子，其餘規則不變。例如，3個圓盤，四根柱子A到D，初始時圓盤都A柱上，我們用五步就可以將圓盤都挪到D柱上：
第一步：將圓盤1從A挪到B；
第二步：將圓盤2從A挪到C；
第三步：將圓盤3從A挪到D；
第四步：將圓盤2從C挪到D；
第五步：將圓盤1從B挪到D。
你的任務是寫一個程式求解四柱子hanoi塔問題最少要多少步可以解決。

Input

輸入只有一行，為一個正整數n。（1<=n<=1000）

Output

輸出為一個正整數，代表n盤四柱子hanoi塔問題最少要多少步可以解決。

Solution

在做經典漢諾塔問題的時候，我們是用遞推求出n個盤子時的步數的，我們做這道題的時候也就類比，嘗試是否能夠遞推解決問題
以下是前10個數的表

盤子數 步數
1 1
2 3
3 5
4 9
5 13
6 17
7 25
8 33
9 41
10 49
... ...

觀察上面的表格，我們發現，從1個盤子到2個盤子與2個到3個各增加了2步即\(2^{1}\)步；從3個到4個、從4個到5個與從5個到6個各增加了4步即\(2^{2}\)步，以此類推，我們做出猜想

\[f_{i}=f_{i-1}+2^{k} \]

其中\(k \in N^{*}\)且是遞增的
對於\(2^{k}\)會加（k+1）次
資料\(n \leqslant 1000\)所以直接遞推就好

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define open(x) freopen(x".in","r",stdin);freopen(x".out","w",stdout);
using namespace std;
int n,cnt,num,i;
long long add,f[1001];
int main()
{
    open("hanoi");
    scanf("%d",&n);
    f[1]=1;f[2]=3;f[3]=5;
    add=4;cnt=3;num=3;
    for (i=4;i<=n;i++)
    {
        f[i]=f[i-1]+add;
        cnt--;
        if (!cnt) cnt=++num,add*=2;
    }
    printf("%lld",f[n]);
    return 0;
}

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