分支定界演算法

Huibing Cheng不會程式設計發表於2019-09-05
演算法

1、概念：
分支定界演算法(Branch and bound，簡稱為 BB、B&B, or BnB)始終圍繞著一顆搜尋樹進行的，我們將原問題看作搜尋樹的根節點，從這裡出發，分支的含義就是將大的問題分割成小的問題。大問題可以看成是搜尋樹的父節點，那麼從大問題分割出來的小問題就是父節點的子節點了。分支的過程就是不斷給樹增加子節點的過程。而定界就是在分支的過程中檢查子問題的上下界，如果子問題不能產生一比當前最優解還要優的解，那麼砍掉這一支。直到所有子問題都不能產生一個更優的解時，演算法結束。

2、例子：
用BB演算法求解下面的整數規劃模型
在這裡插入圖片描述
因為求解的是最大化問題，我們不妨設當前的最優解BestV為-INF，表示負無窮。

  1. 首先從主問題分出兩支子問題：
    在這裡插入圖片描述
    通過線性鬆弛求得兩個子問題的upper bound為Z_LP1 = 12.75，Z_LP2 = 12.2。由於Z_LP1 和Z_LP2都大於BestV=-INF，說明這兩支有搞頭，繼續往下。

  2. 從節點1和節點2兩個子問題再次分支，得到如下結果：
    在這裡插入圖片描述
    子問題3已經不可行，無需再理。子問題4通過線性鬆弛得到最優解為10，剛好也符合原問題0的所有約束，在該支找到一個可行解，更新BestV = 10。
    子問題5通過線性鬆弛得到upper bound為11.87>當前的BestV = 10，因此子問題5還有戲，待下一次分支。而子問題6得到upper bound為9<當前的BestV = 10，那麼從該支下去找到的解也不會變得更好，所以剪掉！

  3. 對節點5進行分支，得到：
    在這裡插入圖片描述
    子問題7不可行，無需再理。子問題8得到一個滿足原問題0所有約束的解，但是目標值為4<當前的BestV=10，所以不更新BestV，同時該支下去也不能得到更好的解了。

  4. 此時，所有的分支遍歷都完成，我們最終找到了最優解。
    在這裡插入圖片描述
    3、演算法過程（以最小化問題minimize f(x)為例）
    1、使用啟發式，找到優化問題的解決方案xh。 儲存其值，B = f（x_h）。 （如果沒有啟發式可用，則將B設定為無窮大。）B將表示到目前為止找到的最佳解，並將用作候選解的上界。
    2、初始化佇列以儲存部分解決方案，但不分配任何問題變數。
    3、迴圈直到佇列為空：
    3.1從佇列中取出一個節點N.
    3.2如果N代表單個候選解x和f（x）<B，則x是迄今為止的最佳解。 記錄並設 置B←f（x）。
    3.3否則，在N上分支以產生新的節點Ni。 對於每個新節點：
    3.3.1如果下線（N_i）> B，則什麼都不做; 由於此節點的下限大於問題的上限，因此它永遠不會導致最優解，並且可以被丟棄。
    3.3.2否則，將Ni存入佇列。

其實程式碼該過程描述也很明瞭了。第1步可以用啟發式找一個當前最優解B出來，如果不想也可以將B設定為正無窮。對於一個最小化問題而言，肯定是子問題的lower bound不能超過當前最優解，不然超過了，該子問題就需要剪掉了。

第2第3步主要是用佇列取構建一個搜尋樹進行搜尋，具體的搜尋方式由queue這個資料結構決定的。

注：B&B是圍繞著一顆搜尋樹進行的，那麼對於一棵樹而言就有很多種搜尋方式
1）Breadth-first search (BFS)：廣度優先搜尋，就是橫向搜尋，先搜尋同層的節點。再一層一層往下。這種搜尋可以用FIFO queue實現。
2）Depth-first search (DFS)：深度優先搜尋，就是縱向搜尋，先一個分支走到底，再跳到另一個分支走到底。這種搜尋可以用LIFO queue也就是棧實現。
3）Best-First Search：最佳優先搜尋，最佳優先搜尋演算法是一種啟發式搜尋演算法（Heuristic Algorithm），其基於廣度優先搜尋演算法，不同點是其依賴於估價函式對將要遍歷的節點進行估價，選擇代價小的節點進行遍歷，直到找到目標點為止。這種搜尋可以用優先佇列priority queue來實現。

注：本文轉載自
https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzI3NTkyODIzNg==&mid=2247484832&idx=1&sn=d420a9a535348b0469606419a7c07aeb&chksm=eb7c0063dc0b8975d64931b5b35e971f6cf78972fbdc7705bb2f16ebba39a2402f2025eff8c9&mpshare=1&scene=1&srcid=&sharer_sharetime=1567610382445&sharer_shareid=054592193644de509623829748e83807&key=5c697a296e1d5a5c0aba9025fae36affa28405e30ce73943ae79c9507ddef6272747ec2f7f4109c201f2611d1e2f31645c71b84a0e797baf3f823a74aa6a2be0758d93c87f32996af02f012ee77ae1a2&ascene=1&uin=MjYzMDA1MzAyMQ%3D%3D&devicetype=Windows+10&version=62060834&lang=zh_CN&pass_ticket=x2YOENqmw1WX%2BbY2oMQM2%2FvgZw9bCyJdvL36g%2Fad0MnNoTVOTcP2gVVONuueS7VV

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