[每日一題] 第四題：圓圈中最後剩下的數字

0，1,……，n-1 這 n 個數字排成一個圓圈，從數字 0 開始，每次從這個圓圈裡刪除第 m 個數字。求出這個圓圈裡剩下的最後一個數字。

例如，0、1、2、3、4這 5 個數字組成一個圓圈，從數字 0 開始每次刪除第 3 個數字，則刪除的前 4 個數字依次是 2、0、4、1，因此最後剩下的數字是 3。

方法一：公式法

程式碼

class Solution {
    public int lastRemaining(int n, int m) {
        int ans = 0;
        // 最後一輪剩下2個人，所以從2開始反推
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            ans = (ans + m) % i;
        }
        return ans;
    }
}

複雜度

時間複雜度：O(n)，需要求解的函式值有 n 個。
空間複雜度：O(1)，只使用常數個變數。

個人理解

數學解法：感覺就是不是我們的常規方法，一個特定的公式，反正就用這個公式能算出來。
公式：f(N,M) = (f(N-1,M) + M) % N，其中：
1. N 表示 N 個數
2. M 表示上面刪除的第 m 個數字
3. f(N,M) 表示 N 個數，每次刪除第 M 個數的時候，最終剩下的數的編號
4. f(N-1,M) 表示，N-1 個數，每次刪除第 M 個數的時候，最終剩下的數的編號
理解記住：我也很好奇怎麼得出這個公式是怎麼來的，但是我覺得理解記住這個公式更重要，知道可以用這種遞推公式得出也很重要。
手動模擬：我們來手動模擬一下上述問題求解過程。
1. 【0，1，2，3，4】。第一輪我們刪除了第三個數字，也就是 2。下一個開頭數字為 3。
2. 【3，4，0，1】。第二輪我們刪除了第三個數字，也就是 0。下一個開頭數字為 1。
3. 【1，3，4】。第三輪我們刪除第三個數字，也就是 4.下一個開頭數字為 1。
4. 【1，3，1】。第四輪我們刪除第三個數字，也就是 1。因為只剩下兩個數字，為了構成個環，我們在後面補上一個 1，此時剩下最後一個資料 3，最終結果為 3。
公式驗證：我們再用上面的公式來驗證一下公式是否正確。注意：該公式得出來的結果是數字的下標（把上述看成一個陣列 array）
1. f(1,3)：只有 1 個數，那這個數就是最終結果，它的下標位置為 0，即 f(1,3)=0。
2. f(2,3) =（f(1,3)+3）% 2 = 1：有 2 個數，剩下的數的下標位置為 1，即 f(2,3)=1。
3. f(3,3) =（f(2,3)+3）% 3 = 1：有 3 個數，剩下的數的下標位置為 1，即 f(3,3)=2。
4. f(4,3) =（f(3,3)+3）% 4 = 0：有 4 個數，剩下的數的下標位置為 0，即 f(4,3)=0。
5. f(5,3) =（f(4,3)+3）% 5 = 3：有 5 個數，剩下的數的下標位置為 3，即 f(5,3)=3。
公式的出來的結果同上面手動模擬的出來的結果一致，陣列 array[3]=3。我們再理解一下為什麼這個公式得出來的是陣列的下標。
問題一：假設我們已經知道了有 5 個數字的時候，最終留下來的數字是下標位置為 3 的數字，那下一輪只有 4 個數字的時候，留下來的數字的下標位置是多少?
1. 其實，第一輪刪除第 3 個數字的時候，3 後面的數字都向前移動 3 位，最終留下來的數字也向前移動 3 位，也就是 0。
問題二：假設我們知道了 4 個數字的時候，最終留下來的數字的下標為 0，那麼當數字有 5 個的時候，最終留下來的數字的下標是多少？
1. 這個過程可以看做是上一個過程的逆過程，大家都往後移動 3 位，所以 f(5,3) =（f(4,3)+3) = 3。不過有可能陣列越界，所以模上當前的數字的個數。即：f(5,3) =（f(4,3)+3）% 5 = 3。
問題三：現在有 N 個數字，刪除第 M 個數字，應該怎麼移動？
1. 每刪除一個數字，下一個數字成為第一個數字，相當於把整個陣列前移 M 位。若已知 N-1 個數字的時候，最終留下來的數字的下標為 f(N-1,M)，則當數字個數為 N 個的時候，最終留下來的數字就要後移 M 位，即 f(N,M) = f(N-1,M) + M。因為有可能陣列越界，所以要模上 N。即：f(N,M) = (f(N-1,M) + M) % N。
這可以解釋了為什麼這個公式求的是最終留下來的數字的下標，因為刪除數字會引起數字下標位置的移動。
為什麼遞推可以？環狀填充理解。這個理解還是很可以，無論刪除多少個，倆環最終剩下的部分都長得一樣，所以可以轉為遞推公式來理解。且滿足上述遞推公式。
遞推公式的起點和終點？ 首先初始位置為 0，然後從第二輪開始，所以要 i=2，到第 N 輪，所以要 i<=N。每次執行 result=(result+m)%i。其中 m 是要刪除的數，i 為當的輪數。

來源：力扣（LeetCode）

連結：leetcode-cn.com/problems/yuan-quan...

約瑟夫環——公式法（遞推公式）

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複雜度

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