堆和堆傻傻分不清？一文告訴你 Java 集合中「堆」的最佳開啟方式

上一篇的 「Java 集合框架」裡，還剩下一個大問題沒有說的，那就是 PriorityQueue，優先佇列，也就是堆，Heap。

什麼是堆？

堆其實就是一種特殊的佇列——優先佇列。

普通的佇列遊戲規則很簡單：就是先進先出；但這種優先佇列搞特殊，不是按照進佇列的時間順序，而是按照每個元素的優先順序來比拼，優先順序高的在堆頂。

這也很容易理解吧，比如各種軟體都有會員制度，某軟體用了會員就能加速下載的，不同等級的會員速度還不一樣，那就是優先順序不同呀。

還有其實每個人回覆微信訊息也是默默的把訊息放進堆裡排個序：先回男朋友女朋友的，然後再回其他人的。

這裡要區別於作業系統裡的那個“堆”，這兩個雖然都叫堆，但是沒有半毛錢關係，都是借用了 Heap 這個英文單詞而已。

我們再來回顧一下「堆」在整個 Java 集合框架中的位置：

也就是說，

• PriorityQueue 是一個類 (class)；
• PriorityQueue 繼承自 Queue 這個介面 (Interface)；

<span style="display:block;color:blue;">那 heap 在哪呢？

heap 其實是一個抽象的資料結構，或者說是邏輯上的資料結構，並不是一個物理上真實存在的資料結構。

<span style=";color:blue;">heap 其實有很多種實現方式，</span>比如 binomial heap, Fibonacci heap 等等。但是面試最常考的，也是最經典的，就是 binary heap 二叉堆，也就是用一棵完全二叉樹來實現的。

<span style="display:block;color:blue;">那完全二叉樹是怎麼實現的？

其實是用陣列來實現的！

所以 binary heap/PriorityQueue 實際上是用陣列來實現的。

這個陣列的排列方式有點特別，因為它總會維護你定義的（或者預設的）優先順序最高的元素在陣列的首位，所以不是隨便一個陣列都叫「堆」，實際上，它在你心裡，應該是一棵「完全二叉樹」。

這棵完全二叉樹，只存在你心裡和各大書本上；實際在在記憶體裡，哪有什麼樹？就是陣列罷了。

那為什麼完全二叉樹可以用陣列來實現？是不是所有的樹都能用陣列來實現？

這個就涉及完全二叉樹的性質了，我們下一篇會細講，簡單來說，因為完全二叉樹的定義要求了它在層序遍歷的時候沒有氣泡，也就是連續儲存的，所以可以用陣列來存放；第二個問題當然是否。

堆的特點

1. 堆是一棵完全二叉樹；
2. 堆序性 (heap order): 任意節點都優於它的所有孩子。

   a. 如果是任意節點都大於它的所有孩子，這樣的堆叫大頂堆，Max Heap;

   b. 如果是任意節點都小於它的所有孩子，這樣的堆叫小頂堆，Min Heap;

左圖是小頂堆，可以看出對於每個節點來說，都是小於它的所有孩子的，注意是所有孩子，包括孫子，曾孫...

1. 既然堆是用陣列來實現的，那麼我們可以找到每個節點和它的父母/孩子之間的關係，從而可以直接訪問到它們。

比如對於節點 3 來說，

• 它的 Index = 1，
• 它的 parent index = 0,
• 左孩子 left child index = 3,
• 右孩子 right child index = 4.

可以歸納出如下規律：

• 設當前節點的 index = x,
• 那麼 parent index = (x-1)/2,
• 左孩子 left child index = 2*x + 1,
• 右孩子 right child index = 2*x + 2.

有些書上可能寫法稍有不同，是因為它們的陣列是從 1 開始的，而我這裡陣列的下標是從 0 開始的，都是可以的。

這樣就可以從任意一個點，一步找到它的孫子、曾孫子，真的太方便了，在後文講具體操作時大家可以更深刻的體會到。

基本操作

任何一個資料結構，無非就是增刪改查四大類：

這裡 peek() 的時間複雜度很好理解，因為堆的用途就是能夠快速的拿到一組資料裡的最大/最小值，所以這一步的時間複雜度一定是 O(1) 的，這就是堆的意義所在。

那麼我們具體來看 offer(E e) 和 poll() 的過程。

offer(E e)

比如我們新加一個 0 到剛才這個最小堆裡面：

那很明顯，0 是要放在最上面的，可是，直接放上去就不是一棵完全二叉樹了啊。。

所以說，

• 我們先保證加了元素之後這棵樹還是一棵完全二叉樹，
• 然後再通過 swap 的方式進行微調，來滿足堆序性。

這樣就保證滿足了堆的兩個特點，也就是保證了加入新元素之後它還是個堆。

那具體怎麼做呢：

Step 1.

先把 0 放在最後接上，別一上來就想著上位；

OK！總算先上岸了，然後我們再一步步往上走。

這裡「能否往上走」的標準在於：
是否滿足堆序性。

也就是說，現在 5 和 0 之間不滿足堆序性，那麼交換位置，換到直到滿足堆序性為止。

這裡對於最小堆來說的堆序性，就是小的數要在上面。

Step 2. 與 5 交換

此時 0 和 3 不滿足堆序性了，那麼再交換。

Step 3. 與 3 交換

還不行，0 還比 1 小，所以繼續換。

Step 4. 與 1 交換

OK！這樣就換好了，一個新的堆誕生了～

總結一下這個方法：

先把新元素加入陣列的末尾，再通過不斷比較與 parent 的值的大小，決定是否交換，直到滿足堆序性為止。

這個過程就是 siftUp()，原始碼如下：

時間複雜度

這裡不難發現，其實我們只交換了一條支路上的元素，

也就是最多交換 O(height) 次。

那麼對於完全二叉樹來說，除了最後一層都是滿的，O(height) = O(logn)。

所以 offer(E e) 的時間複雜度就是 O(logn) 啦。

poll()

poll() 就是把最頂端的元素拿走。

對了，沒有辦法拿走中間的元素，畢竟要 VIP 先出去，小弟才能出去。

那麼最頂端元素拿走後，這個位置就空了：

我們還是先來滿足堆序性，因為比較容易滿足嘛，直接從最後面拿一個來補上就好了，先放個傀儡上來。

Step1. 末尾元素上位

這樣一來，堆序性又不滿足了，開始交換元素。

那 8 比 7 和 3 都大，應該和誰交換呢？

假設與 7 交換，那麼 7 還是比 3 大，還得 7 和 3 換，麻煩。

所以是與左右孩子中較小的那個交換。

Step 2. 與 3 交換

下去之後，還比 5 和 4 大，那再和 4 換一下。

Step 3. 與 4 交換

OK！這樣這棵樹總算是穩定了。

總結一下這個方法：

先把陣列的末位元素加到頂端，再通過不斷比較與左右孩子的值的大小，決定是否交換，直到滿足堆序性為止。

這個過程就是 siftDown()，原始碼如下：

時間複雜度

同樣道理，也只交換了一條支路上的元素，也就是最多交換 O(height) 次。

所以 offer(E e) 的時間複雜度就是 O(logn) 啦。

heapify()

還有一個大名鼎鼎的非常重要的操作，就是 heapify() 了，它是一個很神奇的操作，

可以用 O(n) 的時間把一個亂序的陣列變成一個 heap。

但是呢，heapify() 並不是一個 public API，看：

所以我們沒有辦法直接使用。

唯一使用 heapify() 的方式呢，就是使用
PriorityQueue(Collection<? extends E> c)

這個 constructor 的時候，人家會自動呼叫 heapify() 這個操作。

<span style="display:block;color:blue;">那具體是怎麼做的呢？

哈哈原始碼已經暴露了：

從最後一個非葉子節點開始，從後往前做 siftDown().

因為葉子節點沒必要操作嘛，已經到了最下面了，還能和誰 swap？

舉個例子：

我們想把這個陣列進行 heapify() 操作，想把它變成一個最小堆，拿到它的最小值。

那就要從 3 開始，對 3，7，5進行 siftDown().

Step 1.

尷尬 ?，3 並不用交換，因為以它為頂點的這棵小樹已經滿足了堆序性。

Step 2.

7 比它的兩個孩子都要大，所以和較小的那個交換一下。

交換完成後；

Step 3.

最後一個要處理的就是 5 了，那這裡 5 比它的兩個孩子都要大，所以也和較小的那個交換一下。

換完之後結果如下，注意並沒有滿足堆序性，因為 4 還比 5 小呢。

所以接著和 4 換，結果如下：

這樣整個 heapify() 的過程就完成了。

好了難點來了，為什麼時間複雜度是 O(n) 的呢？

怎麼計算這個時間複雜度呢？

其實我們在這個過程裡做的操作無非就是交換交換。

那到底交換了多少次呢？

沒錯，交換了多少次，時間複雜度就是多少。

那我們可以看出來，其實同一層的節點最多交換的次數都是相同的。

那麼這個總的交換次數 = 每層的節點數 * 每個節點最多交換的次數

這裡設 k 為層數，那麼這個例子裡 k=3.

每層的節點數是從上到下以指數增長：

$$\ce{1, 2, 4, ..., 2^{k-1}}$$

每個節點交換的次數，

從下往上就是：

$$ 0, 1, ..., k-2, k-1 $$

那麼總的交換次數 S(k) 就是兩者相乘再相加：

$$S(k) = \left(2^{0} *(k-1) + 2^{1} *(k-2) + ... + 2^{k-2} *1 \right)$$

這是一個等比等差數列，標準的求和方式就是錯位相減法。

那麼
$$2S(k) = \left(2^{1} *(k-1) + 2^{2} *(k-2) + ... + 2^{k-1} *1 \right)$$

兩者相減得：

$$S(k) = \left(-2^{0} *(k-1) + 2^{1} + 2^{2} + ... + 2^{k-2} + 2^{k-1} \right)$$

化簡一下：

（不好意思我實在受不了這個編輯器了。。。

所以 heapify() 時間複雜度是 O(n).

以上就是堆的三大重要操作，最後一個 heapify() 雖然不能直接操作，但是堆排序中用到了這種思路，之前的「選擇排序」那篇文章裡也提到了一些，感興趣的同學可以後臺回覆「選擇排序」獲得文章～至於堆排序的具體實現和應用，以及為什麼實際生產中並不愛用它，我們之後再講。

最後再說一點題外話，最近發現了幾篇搬運我的文章到其他平臺的現象。每篇文章都是我精心打造的，都是自己的心肝寶貝，看到別人直接搬運過去也沒有標明作者和來源出處實在是太難受了。。為了最好的閱讀體驗，文中的圖片我都沒有加水印，但這也方便了他人搬運。今天考慮再三，還是不想違背自己的本意，畢竟我的讀者更為重要。

所以如果之後有小夥伴看到了，懇請大家後臺或者微信告訴我一下呀，非常感謝！

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