堆與堆排序（一）

ARM的程式設計師敲著詩歌的夢發表於2020-04-04

排序

堆與堆排序（一）

上一篇博文淺談優先佇列介紹了什麼是優先佇列，文末提到了一種資料結構——“堆”，基於“堆”實現的優先佇列，出隊和入隊的時間複雜度都為 O(logN).

這篇博文我們就走進“堆”，看看它到底是什麼結構。

此堆非彼堆

值得注意的是，這裡的“堆”不是記憶體管理中提到的“堆疊”的“堆”。前者的“堆”——準確地說是二叉堆，是一種類似於完全二叉樹的資料結構；後者的“堆”是一種類似於連結串列的資料結構。

堆的結構性質

二叉堆在邏輯結構上是一棵完全二叉樹。什麼是完全二叉樹呢？即樹的每一層都是滿的，除了最後一層最右邊的元素有可能缺位。

如下圖所示，打錯號的兩個不是完全二叉樹，其他都是。

這裡寫圖片描述

對於一個有 N 個節點的完全二叉樹，我們可以為它的每個節點指定一個索引，方法是從上至下，從左到右，從1開始連續編號，如下圖黑色數字所示。瞭解二叉樹的朋友一定看出來了，這就是二叉樹的層序遍歷。

可以看出，對於一個有 N 個節點的完全二叉樹，索引值和元素是一一對應的。所以完全二叉樹可以用一個陣列來表示而不需要指標：索引值就是陣列的下標，元素的值就是節點的關鍵字。

如下圖，是一個完全二叉樹和陣列的相互關係。

這裡寫圖片描述

如果你繼續觀察，就會發現另一個規律：對於陣列任一位置 i 上的元素，其左兒子在位置 2i 上，右兒子在2i+1上，它的父親則在位置 $⌊ i / 2 ⌋$

\lfloor i/2 \rfloor

上。

以節點 D 為例，D 的下標是 4.

B是它的父節點，B的下標是2（=4/2），如圖中黑色的線；
H是它的左孩子，H的下標是8（=4*2），如圖中藍色的線；
I是它的右孩子，I的下標是9（=4*2+1），如圖中紅色的線；

堆序性質

二叉堆一般分為兩種：最大堆和最小堆。

最大堆：也叫做大根堆。每一個節點的值（或者說關鍵字）都要大於或等於它孩子的值（對於任何葉子我們認為這個條件都是自動滿足的）。下圖就是一個最大堆。

這裡寫圖片描述

最小堆：也叫做小根堆。每一個節點的值（或者說關鍵字）都要小於或等於它孩子的值（對於任何葉子我們認為這個條件都是自動滿足的）。下圖就是一個最小堆。

這裡寫圖片描述

值得注意的是：以大根堆為例，在任何從根到某個葉子的路徑上，鍵值的序列是遞減的（如果允許相等的鍵存在，則是非遞增的）。然而，鍵值之間並不存在從左到右的次序。也就是說，在樹的同一層節點之間，不存在任何關係，更一般地來說，在同一節點的左右子樹之間也沒有任何關係。

堆的重要特性

以大根堆為例，把堆的重要特性總結如下。

這裡寫圖片描述

只存在一棵 n 個節點的完全二叉樹。它的高度等於 $⌊ \log_{2} n ⌋$
\lfloor \log _2 n \rfloor
堆的根總是包含了堆的最大元素
堆的一個節點以及該節點的子孫也是一個堆
可以用陣列來實現堆，方法是用從上到下、從左到右的方式來記錄堆的元素。為了方便起見，可以在這種陣列從 1 到 n 的位置上存放堆的元素，留下H[0]，要麼讓它空著，要麼在其中放一個限位器，它的值大於堆中任何一個元素。
在 4 的表示法中：

1) 父母節點的鍵將會位於陣列的前 $⌊ n / 2 ⌋$
\lfloor n/2 \rfloor
個位置中，而葉子節點的鍵將會佔據後 $⌈ n / 2 ⌉$
\lceil n/2 \rceil
個位置。

2) 在陣列中，對於一個位於父母位置 i 的鍵來說，它的子女將會位於2i和2i+1. 相應地，對於一個位於i的鍵來說，它的父母將會位於 $⌊ i / 2 ⌋$
\lfloor i/2 \rfloor

對於上面提到的父母節點的鍵將會位於陣列的前 $⌊ n / 2 ⌋$

\lfloor n/2 \rfloor

個位置中，而葉子節點的鍵將會佔據後 $⌈ n / 2 ⌉$
\lceil n/2 \rceil
個位置。這一點我覺得很有意思，我們們不嚴格證明，僅簡單分析一下為什麼會這樣。

設一個堆共有N個元素。判斷一個索引為 i 的節點是不是父母節點，可以看它有沒有孩子。如果它有孩子，那麼2i一定小於等於N，換句話說，如果2i大於N，則可以斷定它是葉子節點，在它位置之後的節點（如果有的話）也一定是葉子節點，因為從 2i > N 可以推出 2(i+1) > N，2(i+2) > N，…

所以，只要求解不等式 2i > N，取i的最小值，就得到第一個葉子節點的位置。

經過演算，i 的最小值是 $i = ⌊ N / 2 ⌋ + 1$

i=\lfloor N/2 \rfloor +1

，所以，最後一個父母節點的位置是

⌊ n / 2 ⌋

\lfloor n/2 \rfloor

如何構造一個堆

針對給定的一列鍵值，如何構造一個堆呢？

方法一：自底向上堆構造

假設要構造一個大根堆，步驟如下：

在初始化一棵包含 n 個節點的完全二叉樹時，按照給定的順序來放置鍵；
按照下面的方法，對樹進行“堆化”
從最後一個父母節點開始，到根為止，該演算法檢查這些節點的鍵是否滿足父母優勢的要求。如果該節點不滿足，就把該節點的鍵 K 和它子女的最大鍵進行交換，然後再檢查在新的位置上，K 是否滿足父母優勢要求。這個過程一直繼續到對 K 的父母優勢要求滿足為止（最終它必須滿足，因為對每個葉子中的鍵來說，這條件是自動滿足的）。
對於以當前父母節點為根的子樹，在完成它的“堆化”以後，對該節點的直接前趨（陣列中此節點的前一個節點）進行同樣的操作。在對樹的根完成這種操作以後，該演算法就停止了。

如果該節點不滿足父母優勢，就把該節點的鍵 K 和它子女的最大鍵進行交換，然後再檢查在新的位置上，K 是否滿足父母優勢要求。這個過程一直繼續到對 K 的父母優勢要求滿足為止——這種策略叫做下濾（percolate down）。

假設有一列鍵（共10個）：4,1,3,2,16,9,10,14,8,7

那麼，按照上面給定的鍵值順序，對應的完全二叉樹如下圖。

這裡寫圖片描述

最後一個父母節點是5（=10/2），我們從5號節點開始對這個二叉樹進行堆化。

這裡寫圖片描述

看完這些圖，相信你已經知道如何構建大根堆了。下面就用C語言來實現。

遞迴解法

根據上文的演算法描述，很容易想到用遞迴來實現。我們先設計一個函式——下濾函式。

先寫幾個巨集。給定一個位置為 i 的節點，很容易算出它的左右孩子的位置和父母的位置。

#define LEFT(i)    (2*i)   // i 的左孩子
#define RIGHT(i)   (2*i+1) // i 的右孩子
#define PARENT(i)  (i/2)   // i 的父節點

假定以 LEFT(t) 和 RIGHT(t) 為根的子樹都已經是大根堆，下面的函式調整以 t 為根的子樹，使之成為大根堆。

// 下濾函式（遞迴解法）
// 假定以 LEFT(t) 和 RIGHT(t) 為根的子樹都已經是大根堆
// 調整以 t 為根的子樹，使之成為大根堆。
// 節點位置為 1~n，a[0]不使用
void percolate_down_recursive(int a[], int n, int t) 
{
#ifdef PRINT_PROCEDURE
    printf("check %d\n", t);
#endif
    int left = LEFT(t);
    int right = RIGHT(t);   
    int max = t; //假設當前節點的鍵值最大

    if(left <= n)  // 說明t有左孩子    
    {
        max = a[left] > a[max] ? left : max;
    }

    if(right <= n)  // 說明t有右孩子  
    {
        max = a[right] > a[max] ? right : max;
    }

    if(max != t)
    {   
        swap(a + max, a + t); // 交換t和它的某個孩子，即t下移一層
#ifdef PRINT_PROCEDURE
        printf("%d NOT satisfied, swap it and %d \n",t, max);
#endif
        percolate_down_recursive(a, n, max); // 遞迴，繼續考察t
    }
}


//交換*a和*b, 內部函式
static void swap(int* a, int* b) 
{
    int temp = *a;
    *a = *b;
    *b = temp;
}

有了上面的函式，我們就可以從最後一個父母節點開始，到根為止，逐個進行“下濾”。

非遞迴解法

以上程式碼是用“交換法”（第26行）對節點進行下濾。一次交換需要3條賦值語句，有沒有更好的寫法呢？有，就是“空穴法”（我自己起的名字）。我們先說明空穴法的原理，然後附上程式碼。

以上圖中“檢查1號節點，不滿足”這個地方開始，對1號節點進行下濾。

這裡寫圖片描述

// 非遞迴且不用交換
void percolate_down_no_swap(int a[], int n, int t) 
{
    int key = a[t];  // 用key記錄鍵值
    int max_idx;
    int heap_ok = 0;  // 初始條件是父母優勢不滿足
#ifdef PRINT_PROCEDURE      
    printf("check %d\n", t);
#endif  
    // LEFT(t) <= n 成立則說明 t 有孩子
    while(!heap_ok && (LEFT(t) <= n))
    {           
        max_idx = LEFT(t); // 假設左右孩子中，左孩子鍵值較大
        if(LEFT(t) < n)    // 條件成立則說明有2個孩子
        {
            if(a[LEFT(t)] < a[RIGHT(t)])
                max_idx = RIGHT(t); //說明右孩子的鍵值比左孩子大

        }//此時max_idx指向鍵值較大的孩子

        if(key >= a[max_idx])
        {
            heap_ok = 1; //為 key 找到了合適的位置，跳出迴圈
        }
        else
        {   
            a[t] =  a[max_idx]; //孩子上移一層，max_idx 被空出來，成為空穴  

#ifdef PRINT_PROCEDURE                  
            printf("use %d fill %d \n", max_idx, t);
            printf("%d is empty\n", max_idx);
#endif              
            t = max_idx; //令 t 指向空穴     
        }               
    }

    a[t] = key; // 把 key 填入空穴
#ifdef PRINT_PROCEDURE                  
    printf("use value %d fill %d \n", key, t);

#endif      

    return;
}