大根堆和小根堆的介紹

Tomorrowland_D發表於2024-08-05

堆（Heap）的基本概念

堆是一種完全二叉樹（Complete Binary Tree），其性質使得堆可以高效地支援以下操作：

  • 插入（Insert）：將一個新元素加入到堆中。
  • 刪除最大/最小元素（Delete Max/Min）：移除並返回堆中的最大（大根堆）或最小（小根堆）元素。
  • 獲取最大/最小元素（Get Max/Min）：返回堆中的最大（大根堆）或最小（小根堆）元素。

大根堆（Max-Heap）

特性：

  • 每個節點的值都大於或等於其子節點的值。
  • 根節點是堆中最大的元素。

插入操作：

  1. 將新元素插入到樹的最底層的最後位置（保持完全二叉樹的性質）。
  2. 進行“上浮”操作，將新元素逐步與其父節點交換，直到堆的性質恢復或到達根節點為止。

刪除最大元素：

  1. 移除根節點。
  2. 將最後一個元素移動到根位置。
  3. 進行“下沉”操作，將根節點逐步與其較大的子節點交換，直到堆的性質恢復或到達葉子節點為止。

小根堆（Min-Heap）

特性：

  • 每個節點的值都小於或等於其子節點的值。
  • 根節點是堆中最小的元素。

插入操作：

  1. 將新元素插入到樹的最底層的最後位置（保持完全二叉樹的性質）。
  2. 進行“上浮”操作，將新元素逐步與其父節點交換，直到堆的性質恢復或到達根節點為止。

刪除最小元素：

  1. 移除根節點。
  2. 將最後一個元素移動到根位置。
  3. 進行“下沉”操作，將根節點逐步與其較小的子節點交換，直到堆的性質恢復或到達葉子節點為止。

C++ 示例程式碼

以下是詳細的 C++ 示例程式碼，展示如何實現大根堆和小根堆：

#include <iostream>
//在c++中，使用優先佇列需要包含queue這個標頭檔案
#include <queue>
#include <vector>

// 大根堆（預設行為）
void maxHeapExample() {
    // 建立一個大根堆
    std::priority_queue<int> maxHeap;

    // 插入元素
    maxHeap.push(10);
    maxHeap.push(20);
    maxHeap.push(5);
    maxHeap.push(15);

    std::cout << "Max-Heap (大根堆): ";
    // 輸出並刪除堆頂元素
    while (!maxHeap.empty()) {
        std::cout << maxHeap.top() << " "; // 獲取堆頂元素
        maxHeap.pop(); // 刪除堆頂元素
    }
    std::cout << std::endl;
}

// 小根堆
void minHeapExample() {
    // 自定義比較函式，逆序（大根堆），實現小根堆
    auto cmp = [](int left, int right) { return left > right; };
    std::priority_queue<int, std::vector<int>, decltype(cmp)> minHeap(cmp);

    // 插入元素
    minHeap.push(10);
    minHeap.push(20);
    minHeap.push(5);
    minHeap.push(15);

    std::cout << "Min-Heap (小根堆): ";
    // 輸出並刪除堆頂元素
    while (!minHeap.empty()) {
        std::cout << minHeap.top() << " "; // 獲取堆頂元素
        minHeap.pop(); // 刪除堆頂元素
    }
    std::cout << std::endl;
}

int main() {
    maxHeapExample();
    minHeapExample();

    return 0;
}

程式碼解釋

  1. 大根堆（Max-Heap）：
    • std::priority_queue<int> 預設是大根堆。priority_queue 是 STL 提供的容器介面卡，基於堆實現。
    • 插入元素使用 push()，獲取堆頂元素使用 top()，刪除堆頂元素使用 pop()。
  2. 小根堆（Min-Heap）：
    • 透過自定義比較函式來實現小根堆。std::priority_queue 的建構函式允許傳遞自定義的比較函式。
    • auto cmp = [](int left, int right) { return left > right; }; 是一個 lambda 表示式，用於將小根堆的比較函式定義為 left > right。
    • 構造 priority_queue 時，傳遞 cmp 作為比較函式，這樣就會形成小根堆。

小根堆的實現細節與第二種實現方式

在 C++ 的 priority_queue 中，如果你不顯式地提供第二個模板引數（即底層容器型別），它會預設使用 std::vector 作為底層容器。這意味著，你可以只指定元素型別和比較函式（或者不指定比較函式，使用預設的比較方式），而不必顯式地指定底層容器型別。

示例：

#include <iostream>
#include <queue>

struct Compare {
    bool operator()(int left, int right) {
        // 小根堆的比較規則：左邊的值小於右邊的值返回 true
        return left > right;
    }
};

void minHeapExample() {
    // 不顯式指定底層容器型別，仍然會使用預設的 std::vector<int>
    std::priority_queue<int, std::vector<int>, Compare> minHeap;

    // 插入元素
    minHeap.push(10);
    minHeap.push(20);
    minHeap.push(5);
    minHeap.push(15);

    std::cout << "Min-Heap (小根堆): ";

    // 輸出並刪除堆頂元素
    while (!minHeap.empty()) {
        std::cout << minHeap.top() << " "; // 獲取堆頂元素
        minHeap.pop(); // 刪除堆頂元素
    }
    std::cout << std::endl;
}

int main() {
    minHeapExample();

    return 0;
}

解釋：

  • 在 std::priority_queue<int, std::vector<int>, Compare> minHeap; 中，我們沒有顯式地提供第二個模板引數（底層容器型別），因此預設使用 std::vector<int>。
  • 這樣做的好處是簡化了程式碼，使其更具可讀性，並且仍然能夠正常使用小根堆的功能。
  • 如果你想要使用除了 std::vector 以外的其他底層容器，你可以顯式地指定第二個模板引數，例如 std::deque<int> 或者其他適合的容器型別。

因此，答案是：可以不顯式提供第二個模板引數 std::vector<int>，priority_queue 能夠識別到並使用預設的 std::vector 作為底層容器型別。

比較規則的解釋

在 C++ 的 priority_queue 中，如果我們想要實現一個小根堆（Min Heap），是使用 left > right 的比較規則。

比較規則解釋：

  1. 小根堆（Min Heap）：

    • 在小根堆中，父節點的值應該小於或等於每個子節點的值。
    • 因此，在 C++ 的 priority_queue 中，應該使用比較函式或者仿函式，確保 left 比 right 大，即 left > right。

  2. 大根堆（Max Heap）：

    • 在大根堆中，父節點的值應該大於或等於每個子節點的值。
    • 因此，比較函式應該返回 left < right。

示例解釋：

如果要實現一個小根堆，確保堆頂元素是最小的，比較函式應該是這樣定義的：

struct MinHeapComparator {
    bool operator()(int left, int right) {
        return left > right;
    }
};

int main() {
    std::priority_queue<int, std::vector<int>, MinHeapComparator> minHeap;

    minHeap.push(10);
    minHeap.push(2);
    minHeap.push(1);
    minHeap.push(4);
    minHeap.push(13);

    while (!minHeap.empty()) {
        int t = minHeap.top();
        minHeap.pop();
        std::cout << t << " ";
    }

    return 0;
}

在這個示例中，MinHeapComparator 是一個仿函式，它實現了小根堆的比較規則 left > right，確保了堆頂的元素是最小的。

總結：

對於小根堆的實現，確實應該使用 left > right 的比較規則。這個比較規則確保了在堆中，父節點的值小於或等於每個子節點的值，從而滿足小根堆的特性。

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