十大排序方法

#三玖天下第一#發表於2020-07-06

排序

排序演算法

1. 氣泡排序

氣泡排序是一種簡單的排序演算法。它重複地走訪過要排序的數列，一次比較兩個元素，如果它們的順序錯誤就把它們交換過來。走訪數列的工作是重複地進行直到沒有再需要交換，也就是說該數列已經排序完成。這個演算法的名字由來是因為越小的元素會經由交換慢慢“浮”到數列的頂端。

1.1 演算法描述

n個元素的序列，經過n-1趟選擇排序得到有序結果。具體演算法描述如下：

初始狀態：無序區為R[1..n]，有序區為空；
每一輪從無序區起點開始，相鄰元素兩兩比較，如果前面的比後面的元素大就交換，直到無序區最後。
針對所有的元素重複以上的步驟，每一輪冒泡操作無序區域元素減一，有序區元素減一；
重複執行n-1輪，序列變為有序。

1.2 動圖演示

1.3 程式碼實現

#include <bits/stdc++.h>
const int maxn=1e4+5,Inf=2147483647;
int a[maxn];
int n;
void Read(){
	scanf("%d",&n);
	srand(time(0));
	for(int i=1;i<=n;++i)
		a[i]=rand()%10000;
}
void Print(){
	for(int i=1;i<=n;++i)
		printf("%d ",a[i]);
}
void Bubble_sort(int a[]){
	for(int i=1;i<n;++i){//經過n-1輪的冒泡操作
		for(int j=1;j<=n-i;++j)//沒操作一輪，待排序的少一個
			if(a[j]>a[j+1])
				std::swap(a[j],a[j+1]);
	}
}
void Solve(){
	Read();
	Bubble_sort(a);
	Print();
}
int main(){
	Solve();
	return 0;
}

2.選擇排序

選擇排序(Selection-sort)是一種簡單直觀的排序演算法。它的工作原理：首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置，然後，再從剩餘未排序元素中繼續尋找最小（大）元素，然後放到已排序序列的末尾。以此類推，直到所有元素均排序完畢。

2.1 演算法描述

n個記錄的直接選擇排序可經過n-1趟直接選擇排序得到有序結果。具體演算法描述如下：
1. 初始狀態：無序區為R[1..n]，有序區為空；
2. 第i趟排序(i=1,2,3…n-1)開始時，當前有序區和無序區分別為R[1..i-1]和R(i..n)。該趟排序從當前無序區中-選出關鍵字最小的記錄 R[k]，將它與無序區的第1個記錄R交換，使R[1..i]和R[i+1..n)分別變為記錄個數增加1個的新有序區和記錄個數減少1個的新無序區；
3. n-1趟結束，陣列有序化了。

2.2 動圖演示

2.3 程式碼實現

#include <bits/stdc++.h>
const int maxn=1e4+5,Inf=2147483647;
int a[maxn];
int n;
void Read(){
	scanf("%d",&n);
	srand(time(0));
	for(int i=1;i<=n;++i)
		a[i]=rand()%10000;
}
void Print(){
	for(int i=1;i<=n;++i)
		printf("%d ",a[i]);
}
void Select_sort(int a[]){
	int k=0;
	for(int i=1;i<n;++i){//n-1輪，每一輪找到一個最小的
		k=i;//k指向未排序的最小
		for(int j=i+1;j<=n;++j)
			if(a[k]>a[j])
				k=j;
		std::swap(a[i],a[k]);
	}
}
void Solve(){
	Read();
	Select_sort(a);
	Print();
}
int main(){
	Solve();
	return 0;
}

3. 插入排序

插入排序（Insertion-Sort）的演算法描述是一種簡單直觀的排序演算法。它的工作原理是通過構建有序序列，對於未排序資料，在已排序序列中從後向前掃描，找到相應位置並插入。

3.1 演算法描述

從第一個元素開始，該元素可以認為已經被排序；
取出下一個元素，在已經排序的元素序列中從後向前掃描；
如果該元素（已排序）大於新元素，將該元素移到下一位置；
重複步驟3，直到找到已排序的元素小於或者等於新元素的位置；
將新元素插入到該位置後；
重複步驟2~5。

3.2 動圖演示

3.3 程式碼實現

#include <bits/stdc++.h>
const int maxn=1e4+5,Inf=2147483647;
int a[maxn];
int n;
void Read(){
	scanf("%d",&n);
	srand(time(0));
	for(int i=1;i<=n;++i)
		a[i]=rand()%10000;
}
void Print(){
	for(int i=1;i<=n;++i)
		printf("%d ",a[i]);
}
void Insert_sort(int a[]){
	for(int i=2;i<=n;++i){
		for(int j=i;j>1 && a[j-1]>a[j];--j)
			std::swap(a[j],a[j-1]);
	}
}
void Solve(){
	Read();
	Insert_sort(a);
	Print();
}
int main(){
	Solve();
	return 0;
}

4. `Shell`排序

1959年Shell發明，第一個突破 \(O(n^2)\) 的排序演算法，是簡單插入排序的改進版。它與插入排序的不同之處在於，它會優先比較距離較遠的元素。希爾排序又叫縮小增量排序。

4.1 演算法描述

選擇一個較大的增量，一般選gap=n/2，把下標為i,i+gap,i+2*gap+...+i+n/gap*gap 分為一組，對同組的元素進行插入排序。
減小增量為上一個增量的一半，繼續操作1。
重複以上操作，直到增量為1，此時序列變為有序。

4.2 動圖演示

4.3 程式碼演示

#include <bits/stdc++.h>
const int maxn=1e4+5,Inf=2147483647;
int a[maxn];
int n;
void Read(){
	scanf("%d",&n);
	srand(time(0));
	for(int i=1;i<=n;++i)
		a[i]=rand()%10000;
}
void Print(){
	for(int i=1;i<=n;++i)
		printf("%d ",a[i]);
}
void Shell_sort(){
	for(int d=n/2;d>0;d>>=1){//增量選擇，逐漸縮小為原來一半
		for(int i=d+1;i<=n;++i){//對同組元素進行插入排序
			for(int j=i;j-d>0 && a[j]<a[j-d];j-=d)
				std::swap(a[j],a[j-d]);
		}
	}
}
void Solve(){
	Read();
	Shell_sort();
	Print();
}
int main(){
	Solve();
	return 0;
}

4.4 時間效率

希爾排序中對於增量序列的選擇十分重要，直接影響到希爾排序的效能。我們上面選擇的增量序列{n/2,(n/2)/2...1}(希爾增量)，其最壞時間複雜度依然為\(O(n^2)\)，一些經過優化的增量序列如Hibbard經過複雜證明可使得最壞時間複雜度為\(O(n^{3/2})\)。

5. 歸併排序

歸併排序是建立在歸併操作上的一種有效的排序演算法。該演算法是採用分治法（Divide and Conquer）的一個非常典型的應用。將已有序的子序列合併，得到完全有序的序列；即先使每個子序列有序，再使子序列段間有序。若將兩個有序表合併成一個有序表，稱為2-路歸併。

5.1 演算法描述

把長度為n的輸入序列分成兩個長度為n/2的子序列；
對這兩個子序列分別採用歸併排序；
將兩個排序好的子序列合併成一個最終的排序序列。

5.2 動圖演示

5.3 程式碼實現

#include <bits/stdc++.h>
const int maxn=1e4+5,Inf=2147483647;
int a[maxn];
int n;
void Read(){
	scanf("%d",&n);
	srand(time(0));
	for(int i=1;i<=n;++i)
		a[i]=rand()%10000;
}
void Print(){
	for(int i=1;i<=n;++i)
		printf("%d ",a[i]);
}
void Merge(int l,int mid,int r){//合併操作
	int i=l,j=mid+1,k=0;//i指向前面區間第一個元素，j指向後面區間第一元素
	int b[r-l+2]={0};//b儲存合併的序列
	while(i<=mid && j<=r){//取兩個序列前面的較小者
		if(a[i]<=a[j])b[++k]=a[i++];
		else b[++k]=a[j++];
	}//跳出迴圈兩個序列中有一個為空
	while(i<=mid)//若比較完之後，第一個有序區仍有剩餘
		b[++k]=a[i++];
	while(j<=r)//若比較完之後，第二個有序區仍有剩餘
		b[++k]=a[j++];
	for(i=l,k=1;i<=r;++i,++k)//把合併後的排好序的序列拷貝到陣列a[l,r]
		a[i]=b[k];
}
void Merge_sort(int l,int r){
	if(l<r){//把區間分成兩部分
		int mid=l+(r-l)/2;
		Merge_sort(l,mid);//遞迴左區間
		Merge_sort(mid+1,r);//遞迴右區間
		Merge(l,mid,r);//合併左右兩區間
	}
}
void Solve(){
	Read();
	Merge_sort(1,n);
	Print();
}
int main(){
	Solve();
	return 0;
}

5.4 時間效率

歸併排序是一種穩定的排序方法。和選擇排序一樣，歸併排序的效能不受輸入資料的影響，但表現比選擇排序好的多，因為始終都是\(O(nlogn)\)的時間複雜度。代價是需要額外的記憶體空間。

6. 快速排序

快速排序的基本思想：通過一趟排序將待排記錄分隔成獨立的兩部分，其中一部分記錄的關鍵字均比另一部分的關鍵字小，則可分別對這兩部分記錄繼續進行排序，以達到整個序列有序。

6.1 演算法描述

從數列中挑出一個元素，稱為基準（pivot）；
重新排序數列，所有元素比基準值小的擺放在基準前面，所有元素比基準值大的擺在基準的後面（相同的數可以到任一邊）。在這個分割槽退出之後，該基準就處於數列的中間位置。這個稱為分割槽（partition）操作；
遞迴地（recursive）把小於基準值元素的子數列和大於基準值元素的子數列排序。

6.2 動圖演示

6.3 程式碼實現

#include <bits/stdc++.h>
const int maxn=1e4+5,Inf=2147483647;
int a[maxn];
int n;
void Read(){
	scanf("%d",&n);
	srand(time(0));
	for(int i=1;i<=n;++i)
		a[i]=rand()%10000;
}
void Print(){
	for(int i=1;i<=n;++i)
		printf("%d ",a[i]);
}
void Quick_sort(int l,int r){
	if(l>=r)return;
	int i=l,j=r,base=a[l];//選左邊界作為基準
	while(i<j){//作指標要小於右指標
		while(i<j && a[j]>base)--j;//先遍歷右邊界
		while(i<j && a[i]<base)++i; 
		if(i<j)std::swap(a[i],a[j]);
	}//跳出迴圈時i==j，此位置為基準最終位置
	std::swap(a[l],a[i]);
	Quick_sort(l,i-1);
	Quick_sort(i+1,r);
}
void Solve(){
	Read();
	Quick_sort(1,n);
	Print();
}
int main(){
	Solve();
	return 0;
}

7. 堆排序

堆排序 (Heapsort) 是指利用堆這種資料結構所設計的一種排序演算法。
堆是一個近似完全二叉樹的結構，並同時滿足堆的性質：即子結點的鍵值或索引總是小於（或者大於）它的父結點。
堆排序可以說是一種利用堆的概念來排序的選擇排序。分為兩種方法：
1. 大頂堆：每個結點的值都大於或等於其子結點的值，在堆排序演算法中用於升序排列；
2. 小頂堆：每個結點的值都小於或等於其子結點的值，在堆排序演算法中用於降序排列；
堆排序的平均時間複雜度為 Ο(nlogn)。

7.1 演算法描述：

建立一個堆
把堆首（最大值）和堆尾互換；
堆的大小減一，並向下調整堆使之滿足堆的性質
重複2,3直到只剩一個元素。

7.2 動圖演示

7.3 程式碼實現

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int maxn = 10000 + 5;
void swap(int &x,int &y){int t=x;x=y;y=t;}//交換函式
int Heap[maxn],siz=0;
void Push(int x){//向上調整
    Heap[++siz]=x;//把插入的元素x放在陣列最後
    for(int i=siz;i/2>0 && Heap[i]>Heap[i/2];i=i/2)
        swap(Heap[i],Heap[i/2]);
}
void Pop(){//向下調整
    swap(Heap[siz],Heap[1]);siz--;//交換堆頂和堆底，然後直接彈掉堆底
    for(int i=1;2*i<=siz;i*=2){
        int j=2*i;//如果存在右兒子且右兒子大於左兒子j就指向右兒子
        if(j+1<=siz && Heap[j]<Heap[j+1])++j;
        if(Heap[i]<Heap[j])swap(Heap[i],Heap[j]);
        else break;
    }
}
void Solve(){
    int n;scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i){//建堆
        int x;scanf("%d",&x);
        Push(x);
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){//輸出堆頂並刪除，此乃降序
        printf("%d ",Heap[1]);Pop();
    }
    printf("\n");
    for(int i=1;i<=n;++i)//全部出堆後原陣列為升序
        printf("%d ",Heap[i]);
}
int main(){
    Solve();
    return 0;
}

8. 計數排序

計數排序不是基於比較的排序演算法，其核心在於將輸入的資料值轉化為鍵儲存在額外開闢的陣列空間中。作為一種線性時間複雜度的排序，計數排序要求輸入的資料必須是有確定範圍的整數。

8.1 演算法描述

找出待排序的陣列中最大和最小的元素(作為陣列的範圍)；
統計陣列中每個值為i的元素出現的次數，存入陣列C的第i項；
對所有的計數累加（從C中的第一個元素開始，每一項和前一項相加）；
反向填充目標陣列：將每個元素i放在新陣列的第C(i)項，每放一個元素就將C(i)減去1。

8.2 動圖演示

8.3 程式碼實現

#include <bits/stdc++.h>
const int maxn=1e5+5,Inf=2147483647;
int n,a[maxn],b[maxn];
void Read(){
    scanf("%d",&n);
    srand(time(0));
    for(int i=1;i<=n;++i)
        a[i]=rand()%100000;
}
void Print(){
    for(int i=1;i<=n;++i)
        printf("%d ",a[i]);
}
void Counting_sort(){
    int Min=Inf,Max=-Inf;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        b[a[i]]++;//值當下標，並計算個數
        Min=std::min(Min,a[i]);//
        Max=std::max(Max,a[i]);
    }
    int cnt=0;
    for(int i=Min;i<=Max;++i)
        while(b[i])a[++cnt]=i,b[i]--;
}
void Solve(){
    Read();
    Counting_sort();
    Print();
}
int main(){
    Solve();
    return 0;
}

9. 桶排序

桶排序是將待排序集合中處於同一個值域的元素存入同一個桶中，也就是根據元素值特性將集合拆分為多個區域，則拆分後形成的多個桶，從值域上看是處於有序狀態的。對每個桶中元素進行排序，則所有桶中元素構成的集合是已排序的。

9.1 演算法描述

設定一個定量的陣列當作空桶子。
尋訪序列，並且把專案一個一個放到對應的桶子去。
對每個不是空的桶子進行排序。
從不是空的桶子裡把專案再放回原來的序列中。

9.2 動圖演示

9.3 時間效率

桶排序最好情況下使用線性時間O(n)，桶排序的時間複雜度，取決與對各個桶之間資料進行排序的時間複雜度，因為其它部分的時間複雜度都為O(n)。很顯然，桶劃分的越小，各個桶之間的資料越少，排序所用的時間也會越少。但相應的空間消耗就會增大。

10. 基數排序

基數排序是按照低位先排序，然後收集；再按照高位排序，然後再收集；依次類推，直到最高位。有時候有些屬性是有優先順序順序的，先按低優先順序排序，再按高優先順序排序。最後的次序就是高優先順序高的在前，高優先順序相同的低優先順序高的在前。

10.1 演算法描述

取得陣列中的最大數，並取得位數；
arr為原始陣列，從最低位開始取每個位組成radix陣列；
對radix進行計數排序（利用計數排序適用於小範圍數的特點）；

10.2 動圖演示

程式碼實現

#include <bits/stdc++.h>
const int maxn=1e4+5,Inf=2147483647;
int a[maxn];
int n;
void Read(){
	scanf("%d",&n);
	srand(time(0));
	for(int i=1;i<=n;++i)
		a[i]=rand()%10000;
}
void Print(){
	for(int i=1;i<=n;++i)
		printf("%d ",a[i]);
}
int Get_max(int a[],int n){//求陣列的最大值
	int Max=a[1];
	for(int i=1;i<=n;++i)
		Max=std::max(Max,a[i]);
	return Max;
}
/*
 * 引數說明：
 *     a -- 陣列
 *     n -- 陣列長度
 *     exp -- 指數。對陣列a按照該指數進行排序。
 *
 * 例如，對於陣列a={50, 3, 542, 745, 2014, 154, 63, 616}；
 *    (01) 當exp=1表示按照"個位"對陣列a進行排序
 *    (02) 當exp=10表示按照"十位"對陣列a進行排序
 *    (03) 當exp=100表示按照"百位"對陣列a進行排序
 *    ...
 */
void Count_sort(int a[],int n,int exp){
	int b[n+5],buckets[10]={0};
    // b儲存"被排序資料"的臨時陣列
	for(int i=1;i<=n;++i)// 將資料出現的次數儲存在buckets[]中
		buckets[(a[i]/exp)%10]++;
	for(int i=1;i<10;++i)// 更改buckets[i]。目的是讓更改後的buckets[i]的值，是該資料在b[]中的位置。
		buckets[i]+=buckets[i-1];
	for(int i=n;i>0;--i){// 將資料儲存到臨時陣列b[]中
		b[buckets[(a[i]/exp)%10]]=a[i];
		buckets[(a[i]/exp)%10]--;
	}
	for(int i=0;i<=n;++i)// 將排序好的資料賦值給a[]
		a[i]=b[i];
}
void Radix_sort(int a[],int n){
	int Max=Get_max(a,n);// 陣列a中的最大值
	for(int i=1;Max/i>0;i*=10)// 從個位開始，對陣列a按"指數"進行排序
		Count_sort(a,n,i);
}
void Solve(){
	Read();
	Radix_sort(a,n);
	Print();
}
int main(){
	Solve();
	return 0;
}

摘自奧賽教練老姚的部落格

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1. 氣泡排序

1.1 演算法描述

1.2 動圖演示

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2.選擇排序

2.1 演算法描述

2.2 動圖演示

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3. 插入排序

3.1 演算法描述

3.2 動圖演示

3.3 程式碼實現

4. Shell排序

4.1 演算法描述

4.2 動圖演示

4.3 程式碼演示

4.4 時間效率

5. 歸併排序

5.1 演算法描述

5.2 動圖演示

5.3 程式碼實現

5.4 時間效率

6. 快速排序

6.1 演算法描述

6.2 動圖演示

6.3 程式碼實現

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7.1 演算法描述：

7.2 動圖演示

7.3 程式碼實現

8. 計數排序

8.1 演算法描述

8.2 動圖演示

8.3 程式碼實現

9. 桶排序

9.1 演算法描述

9.2 動圖演示

9.3 時間效率

10. 基數排序

10.1 演算法描述

10.2 動圖演示

程式碼實現

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