本文是本系列的完結篇。本系列前面的文章：
下午，吃飽飯的老明和小皮，各拿著一杯剛買的咖啡回到會議室，開始了邏輯式程式語言的最後一課。
老明喝了一口咖啡，說：“你看咖啡機，是不是咖啡的列表。”
“啥？”小皮有點懵圈，“你說工廠的話還好理解，列表不太像。”
“每次點一下按鈕，就相當於呼叫了一次next，出來一杯咖啡。而它本身並不包含咖啡，每一次都是現場磨豆衝出來的。這正是一個典型的惰性列表。”
“有點道理，但是這跟邏輯式程式語言直譯器有什麼關係呢？”
“這就是下面要說的流計算模式，它是實現分支遍歷的核心技巧。”
下面先講流計算模式，然後再講替換求解的實現與分支遍歷的實現。
流（Stream）計算模式
老明在白板上寫下“Stream”，說：“Stream最常見的用途是用來表示數量未知或者無窮的列表。在程式碼中怎麼定義流呢？我們先來看看自然數，自然數是無窮的，那我們怎麼定義自然數列呢？”
“這很顯然，不就是0、1、2、3、4、5等等吧。”
老明鄙夷地看著小皮，說：“如果我是你的數學老師，那我肯定要罰你站在牆角數完所有自然數……想想數學歸納法！”
“哦哦，哎！數學這些烏漆嘛黑的知識總是喜歡偷偷溜走。自然數的定義簡單來說（嚴謹的不會），由兩部分組成：
- （起點部分）0是自然數；
- （遞迴部分）任意自然數加1也是自然數。
“這樣我們根據第1部分，得到起點0；再根據第2部分，一直加1，依次得到1、2、3、4、5等自然數。”
“看來基礎還是不錯的。”老明微笑著點點頭，然後開始進入正文……
從自然數的定義，我們可以得到啟發，Stream的定義也是由兩部分組成：
- 起點：第一個元素（非空流）；
- 遞迴：一個無參函式，呼叫它會返回這個Stream去掉第一個元素後剩下部分組成的剩餘Stream。
第2部分之所以是個函式，是為了獲得惰性的效果，僅當需要時才計算剩餘的Stream。
使用程式碼定義Stream如下：
public delegate Stream DelayedStream();
// Stream的定義，我們只會用到替換的Stream，所以這裡就不做泛型了。
public class Stream
{
// 第一個元素，型別為Substitution（替換）
public Substitution Curr { get; set; }
// 獲取剩餘Stream的方法
public DelayedStream GetRest { get; set; }
private static Stream MakeStream(Substitution curr, DelayedStream getRest)
{
return new Stream()
{
Curr = curr,
GetRest = getRest
};
}
...
}
其中Substitution是替換類，後面會講到這個類的實現。
還需要定義一個空Stream，除了表示空以外，還用來作為有限Stream的結尾。空Stream是一個特殊的單例。
正常來講，空Stream應該額外宣告一個型別。這裡偷了個懶。
private Stream() { }
private static readonly Stream theEmptyStream = new Stream();
public bool IsEmpty()
{
return this == theEmptyStream;
}
public static Stream Empty()
{
return theEmptyStream;
}
特別的，還需要一個構造單元素的Stream的方法：
public static Stream Unit(Substitution sub)
{
return MakeStream(sub, () => Empty());
}
只有這些平凡的構造方法還看不出Stream的用處，接下來結合前面講過的NMiniKanren執行原理，探索如何使用Stream來實現替換的遍歷。
Append方法
回顧一下Any的執行原理，Any的每個引數會各自返回一個Stream。這些Stream代表了各個引數包含的可能性。Any操作把所有可能性放在一起，也就是把這些Stream拼在一起組成一個長長的Stream。
所以相應的，我們需要把兩個Stream s1和s2拼接成一個“長”Stream的Append方法。
如何構造這個“長”Stream呢？
首先，如果s1是空Stream，那麼拼接後的Stream顯然就是s2。
否則，按照Stream定義，分兩個部分進行構造：
- 第一個元素，顯然就是
s1的第一個元素； - 剩餘Stream，就是
s1的剩餘Stream，拼上s2，這裡是個遞迴定義。
按照上面分析的構造方法，我們就能輕鬆地寫下程式碼：
public Stream Append(DelayedStream f)
{
if (IsEmpty()) return f();
return MakeStream(Curr, () => GetRest().Append(f));
}
在這個實現中，f是尚未計算的s2。我們需要儘量推遲s2第一個元素的計算，因為推遲著推遲著可能就沒了不用算了。在很多場景中，這個可以節省不必要的計算，甚至避免死迴圈（“這都是血淚教訓。”老明捂臉）。
下面是一個Any與Append的例子：
Interleave方法
Anyi和Any的區別只有順序。Anyi使用交替的順序。
所以相應的，我們需要一個方法，這個方法把兩個Stream s1和s2中的元素交替地拼接組成一個“長”Stream。
首先，如果s1是空Stream，那麼“長”Stream顯然就是s2。
否則，分兩部分構造：
- 第一個元素是
s1的第一個元素； - 這裡和Append方法的區別是把
s1和s2的位置調換了，剩餘Stream是s2交替拼上s1的剩餘Stream，同樣是個遞迴定義。
程式碼如下：
public Stream Interleave(DelayedStream f)
{
if (IsEmpty()) return f();
return MakeStream(Curr, () => f().Interleave(GetRest));
}
這裡使用惰性的f是非常必要的，因為我們不希望取剩餘Stream的時候呼叫GetRest。
Bind方法
這個方法比較複雜，是對應到All運算中兩兩組合引數裡的分支的過程。
不同於Append/Interleave作用在兩個Stream上，Bind方法作用在一個Stream和一個Goal上。
為什麼不是兩個Stream呢？
前面已經分析過了，k.All(g1, g2)這個運算，是把g2蘊含的條件，追加到g1所包含的Stream中的每個替換裡。
同時，g2是個函式。追加這個動作本身由g2表達。
舉例來說，假設st是g1所包含的Stream中的一個替換。那麼把g2蘊含的條件追加到st上，其結果為g2(st)。
正是因為Bind方法中需要有追加條件這個動作，所以Bind方法的第二個引數只能是既包含了條件內容，也包含了追加方法的Goal型別。
用記號s1表示g1所包含的Stream，Bind方法的作用就是把g2蘊含的條件追加到s1中的每個替換裡。
首先，如果s1是個空Stream，那顯然Bind的結果是空Stream。
否則，結果是s1的第一個元素追加g2，再拼上s1的剩餘Stream Bind g2的結果。這仍是遞迴定義，不過是藉助的Append方法進行Stream構造。
程式碼如下：
public Stream Bind(Goal g)
{
if (IsEmpty()) return Empty();
return g(Curr).Append(() => GetRest().Bind(g));
}
這個方法為什麼叫
Bind，因為取名廢只好抄《The Reasoned Schemer》裡的命名……
下面是一個All與Bind的例子：
Bindi方法
對應Alli，交替版的Bind方法。程式碼實現不再多說，直接把Bind實現中的Append換成Interleave即可：
public Stream Bindi(Goal g)
{
if (IsEmpty()) return Empty();
return g(Curr).Interleave(() => GetRest().Bindi(g));
}
更多Stream的玩法，參見《計算機程式的構造和解釋》（簡稱《SICP》）第三章。
替換求解的實現
構造目標時會用到替換裡的方法，所以和上一篇順序相反，先講替換求解。
替換
替換的定義為：
public class Substitution
{
private readonly Substitution parent;
public FreshVariable Var { get; }
public object Val { get; }
private Substitution(Substitution p, FreshVariable var, object val)
{
parent = p;
Var = var;
Val = val;
}
private static readonly Substitution theEmptySubstitution = new Substitution(null, null, null);
public static Substitution Empty()
{
return theEmptySubstitution;
}
public bool IsEmpty()
{
return this == theEmptySubstitution;
}
public Substitution Extend(FreshVariable var, object val)
{
return new Substitution(this, var, val);
}
public bool Find(FreshVariable var, out object val)
{
if (IsEmpty())
{
val = null;
return false;
}
if (Var == var)
{
val = Val;
return true;
}
return parent.Find(var, out val);
}
...
}
這是個單連結串列的結構。我們需要能在替換中追根溯源地查詢未知量的值的方法（也就是將條件代入到未知量）：
public object Walk(object v)
{
if (v is KPair p)
{
return new KPair(Walk(p.Lhs), Walk(p.Rhs));
}
if (v is FreshVariable var && Find(var, out var val))
{
return Walk(val);
}
return v;
}
例如在替換(x=1, q=(x y), y=x)中，Walk(q)返回(1 1)。
注意替換結構裡面，條件都是未知量 = 值的形式。但是在NMiniKanren程式碼中並非所有條件都是這種形式。所以在追加條件時，需要先將條件轉化為未知量 = 值的形式。
追加條件時，不是簡單的使用Extend方法，而是用Unify方法。Unify方法結合了Extend和代入消元法。它先將已有條件代入到新條件中，然後再把代入後的新條件轉化為未知量 = 值的形式：
public Substitution Unify(object v1, object v2)
{
v1 = Walk(v1); // 使用已知條件代入到v1
v2 = Walk(v2); // 使用已知條件代入到v2
if (v1 is KPair p1 && v2 is KPair p2)
{
return Unify(p1.Lhs, p2.Lhs)?.Unify(p1.Rhs, p2.Rhs);
}
if (v1 is FreshVariable var1)
{
return Extend(var1, v2);
}
if (v2 is FreshVariable var2)
{
return Extend(var2, v1);
}
// 兩邊都是值。值相等的話替換不變；值不相等返回null表示矛盾。
if (v1 == null)
{
if (v2 == null) return this;
} else
{
if (v1.Equals(v2)) return this;
}
return null;
}
Unify方法實現了代入消元的第一遍代入（詳情見上一篇）。Unify的全拼是unification，中文叫合一。
求解
由於NMiniKanren的輸出只有未知量q，所以第二遍代入的過程只需要查詢q的值即可：
Walk(q)
構造目標的實現
通過Stream的分析，我們知道，只要構造了目標，自然就實現了分支的遍歷。
Success與Fail
任何替換追加Success，相當於沒追加，所以k.Success直接返回一個只包含上下文的Stream：
public Goal Succeed = sub => Stream.Unit(sub);
任何替換追加Fail，那它這輩子就完了，k.Fail直接返回空Stream
public Goal Fail => sub => Stream.Empty();
Eq
k.Eq(v1, v2)向上下文追加v1 == v2條件。
首先，使用Unify方法將v1 == v2條件擴充套件到上下文代表的替換。
若擴充套件後的替換出現矛盾，表示無解，返回空Stream。
否則返回只包含擴充套件後的替換的Stream。
程式碼如下：
public Goal Eq(object v1, object v2)
{
return sub =>
{
var u = sub.Unify(v1, v2);
if (u == null)
{
return Stream.Empty();
}
return Stream.Unit(u);
};
}
Any/Anyi
首先，利用Stream.Append實現二目運算版本的Or：
public Goal Or(Goal g1, Goal g2)
{
return sub => g1(sub).Append(() => g2(sub));
}
然後擴充套件到多引數：
public Goal Any(params Goal[] gs)
{
if (gs.Length == 0) return Fail;
if (gs.Length == 1) return gs[0];
return Or(gs[0], Any(gs.Skip(1).ToArray()));
}
同理實現Ori和Anyi：
public Goal Ori(Goal g1, Goal g2)
{
return sub => g1(sub).Interleave(() => g2(sub));
}
public Goal Anyi(params Goal[] gs)
{
if (gs.Length == 0) return Fail;
if (gs.Length == 1) return gs[0];
return Ori(gs[0], Anyi(gs.Skip(1).ToArray()));
}
All/Alli
利用Stream.Bind實現二目版本的And：
public Goal And(Goal g1, Goal g2)
{
return sub => g1(sub).Bind(g2);
}
然後擴充套件到多引數：
public Goal All(params Goal[] gs)
{
if (gs.Length == 0) return Succeed;
if (gs.Length == 1) return gs[0];
return And(gs[0], All(gs.Skip(1).ToArray()));
}
同理實現Andi和Alli：
public Goal Andi(Goal g1, Goal g2)
{
return sub => g1(sub).Bindi(g2);
}
public Goal Alli(params Goal[] gs)
{
if (gs.Length == 0) return Succeed;
if (gs.Length == 1) return gs[0];
return Andi(gs[0], All(gs.Skip(1).ToArray()));
}
串起來執行，以及一些細枝末節
public static IList<object> Run(int? n, Func<KRunner, FreshVariable, Goal> body)
{
var k = new KRunner();
// 定義待求解的未知量q
var q = k.Fresh();
// 執行body，得到最終目標g
var g = body(k, q);
// 初始上下文是一個空替換，應用到g，得到包含可行替換的Stream s
var s = g(Substitution.Empty());
// 從s中取出前n個（n==null則取所有）替換，查詢各個替換下q的解，並給自由變數換個好看的符號。
return s.MapAndTake(n, sub => Renumber(sub.Walk(q)));
}
其中，MapAndTake方法取Stream的前n個（或所有）值，並map每一個值。
Renumber將自由變數替換成_0、_1……這類符號。
NMiniKanren的完整程式碼在這裡：https://github.com/sKabYY/NMiniKanren
結尾
總結一下NMiniKanren的原理：
- NMiniKanren程式碼描述的是一個Goal。Goal是一個替換到Stream的函式。
- 從NMiniKanren程式碼可以構建一張描述了條件關係的圖。每條路徑對應一個替換，使用流計算模式可以很巧妙地實現對所有路徑的遍歷。
- 使用代入消元法求解未知量。
另外NMiniKanren畢竟只是一門教學級的語言，實用上肯定一塌糊塗，說難聽點也就是個玩具。我們學習的重點不在於NMiniKanren，而在於實現NMiniKanren的過程中所用到的技術和思想。掌握了這些方法後，可以根據自己的需要進行優化或擴充套件，或者將這些方法應用到其他問題上。
“神奇！”小皮瞪著眼睛摸摸腦袋，以前覺得宛若天書般的邏輯式程式語言就這麼學完了，還包括瞭直譯器的實現。
“認真學習了一天半的效果還是不錯了。嘿嘿。”老明欣慰地拍了拍小皮的肩膀，微微笑道，“世上無難事，只怕有心人。恰好今天週五了，週末就來公司把這兩天落下的工作補完吧。”
小皮：“？？？”
PS：最後，用《The Reasoned Schemer》裡的兩頁實現鎮樓。俗話說得好，C#只是恰飯，真正的快樂還得看Scheme/Lisp。
