Codeforces 479E Riding in a Lift：字首和/差分優化dp

題目連結：http://codeforces.com/problemset/problem/479/E

題意：

　　有一棟n層的房子。

　　還有一個無聊的人在玩電梯，每次玩電梯都會從某一層坐到另外一層。

　　他初始在a層，然後要玩k次電梯。

　　這棟樓裡還有一個神祕實驗室，在b層。

　　這讓他每次坐電梯受到了限制：

　　　　當前在x層，然後要坐到y層，則必須滿足|x-y|<|x-b|

　　問你共有多少種坐電梯的方案。

 

題解：

　　表示狀態：

　　　　dp[i][j] = numbers

　　　　表示當前在第i層，已經坐了j次電梯，此時的方案數。

 

　　找出答案：

　　　　ans = ∑ dp[i][k]

 

　　如何轉移：

　　　　若當前在第i層，則移動距離最大為r = |i-b|-1

　　　　dp[i-r to i-1][j+1] += dp[i][j]

　　　　dp[i+1 to i+r][j+1] += dp[i][j]

　　　　注意判斷越界。

 

　　邊界條件：

　　　　set dp = 0

　　　　dp[a][0] = 1

 

　　字首和/差分優化：

　　　　如果直接去做的話，列舉狀態要O(N^2)，轉移要O(N)，總複雜度O(N^3)明顯超了。

　　　　所以考慮將轉移變成O(1)的。

　　　　因為轉移是給一段區間加上同一個值，所以可以用差分去做，轉移完之後在求一邊字首和就變成了原值。

 

AC Code:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 5005
#define MAX_K 5005
#define MOD 1000000007

using namespace std;

int n,a,b,k;
int dp[MAX_N][MAX_K];

inline int abs(int x)
{
    return x>0 ? x : -x;
}

inline int mod(int x)
{
    return (x%MOD+MOD)%MOD;
}

void sec(int x,int y,int v,int id)
{
    if(x>y || y<=0 || x>n) return;
    x=max(x,1); x=min(x,n);
    y=max(y,1); y=min(y,n);
    dp[x][id]=mod(dp[x][id]+v);
    dp[y+1][id]=mod(dp[y+1][id]-v);
}

int main()
{
    cin>>n>>a>>b>>k;
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[a][0]=1;
    for(int j=0;j<k;j++)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int r=abs(i-b)-1;
            sec(i-r,i-1,dp[i][j],j+1);
            sec(i+1,i+r,dp[i][j],j+1);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            dp[i][j+1]=mod(dp[i][j+1]+dp[i-1][j+1]);
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) ans=mod(ans+dp[i][k]);
    cout<<ans<<endl;
}