Codeforces 900D Unusual Sequences：記憶化搜尋

題目連結：http://codeforces.com/problemset/problem/900/D

題意：

　　給定x,y，問你有多少個數列a滿足gcd(a[i]) = x 且 ∑(a[i]) = y。

 

題解：

　　由於gcd(a[i]) = x，所以y一定是x的倍數，否則無解。

　　那麼原題就等價於：問你有多少個數列a滿足gcd(a[i]) = 1 且 ∑(a[i]) = y/x。

 

　　設f(k)為gcd(a[i]) = 1 且 ∑(a[i]) = k時的答案。

　　只滿足條件∑(a[i]) = k的數列共有2^(k-1)種（隔板法）

　　然後要從中去掉gcd不為1的數列。

　　每個和為k且gcd不為1的數列a1，對應著一個和為k的因數且gcd為1的數列a2。

　　因為a1可以由a2整體放大而來。

　　那麼也就是f(k) = 2^(k-1) - ∑ f(p)，其中p為k的因數(p != k)。

　　搜尋 + map記憶化即可。

 

　　由於需要用到的f(k)，k均為y/x的因數，最多sqrt(y/x)個。

　　加上map的log複雜度，所以總複雜度為O(sqrt(n)*log(n))。

 

AC Code:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <map>
#define MOD 1000000007

using namespace std;

int x,y;
map<int,int> mp;

long long quick_pow(long long n,long long k)
{
    long long ans=1;
    while(k>0)
    {
        if(k&1) ans=(ans*n)%MOD;
        n=n*n%MOD;
        k>>=1;
    }
    return ans;
}

long long dfs(int i)
{
    if(i==1) return 1;
    if(mp.count(i)) return mp[i];
    long long ans=quick_pow(2,i-1);
    for(int j=2;j*j<=i;j++)
    {
        if(i%j==0)
        {
            ans=((ans-dfs(j))%MOD+MOD)%MOD;
            if(i/j!=j) ans=((ans-dfs(i/j))%MOD+MOD)%MOD;
        }
    }
    ans=((ans-1)%MOD+MOD)%MOD;
    return mp[i]=ans;
}

int main()
{
    cin>>x>>y;
    cout<<(y%x==0 ? dfs(y/x) : 0)<<endl;
}