圖解大頂堆的構建、排序過程

鹿呦呦發表於2020-05-31
圖解排序

這兩天在複習大頂堆和小頂堆，比起兩年前的懵懵懂懂，這次理解起來就容易了一些。又翻看了一下自己之前的筆記資料結構與演算法之PHP排序演算法（堆排序），發現自己這次查閱資料，和之前的思路不太一樣，遂寫下這篇筆記，算是和以前的筆記做一個對照。

一、什麼是堆

堆是一種非線性結構，可以把堆看作一棵二叉樹，也可以看作一個陣列，即：堆就是利用完全二叉樹的結構來維護的一維陣列。

堆可以分為大頂堆和小頂堆。
大頂堆：每個結點的值都大於或等於其左右孩子結點的值。
小頂堆：每個結點的值都小於或等於其左右孩子結點的值。

如果是排序，求升序用大頂堆，求降序用小頂堆。

一般我們說 topK 問題，就可以用大頂堆或小頂堆來實現，
最大的 K 個：小頂堆
最小的 K 個：大頂堆

二、大頂堆的構建過程

大頂堆的構建過程就是從最後一個非葉子結點開始從下往上調整。

最後一個非葉子節點怎麼找？這裡我們用陣列表示待排序序列，則最後一個非葉子結點的位置是：陣列長度/2-1。假如陣列長度為9，則最後一個非葉子結點位置是 9/2-1=3。

比較當前結點的值和左子樹的值，如果當前節點小於左子樹的值，就交換當前節點和左子樹；
交換完後要檢查左子樹是否滿足大頂堆的性質，不滿足則重新調整子樹結構；

再比較當前結點的值和右子樹的值，如果當前節點小於右子樹的值，就交換當前節點和右子樹；
交換完後要檢查右子樹是否滿足大頂堆的性質，不滿足則重新調整子樹結構；

無需交換調整的時候，則大頂堆構建完成。

畫個圖理解下，以 [3, 7, 16, 10, 21, 23] 為例：

程式碼如下：

<?php
/**
 * 構建大頂堆
 * 大頂堆的性質：每個結點的值都大於或等於其左右子結點的值。
 */
function buildBigHeap(&$arr, $len) {
    for ($i = floor($len/2) - 1; $i >= 0; $i--) {
        //根節點小於左子樹
        if (2 * $i + 1 < $len && $arr[$i] < $arr[2 * $i + 1]) {
            //交換根節點和左子樹的值
            swap($arr, $i, 2 * $i + 1);
            // $temp = $arr[$i];
            // $arr[$i] = $arr[2 * $i + 1];
            // $arr[2 * $i + 1] = $temp;
            //檢查左子樹是否滿足大頂堆的性質，如果不滿足，則重新調整
            if ((2 * (2 * $i + 1) + 1 < $len && $arr[2 * $i + 1] < $arr[2 * (2 * $i + 1) + 1])
            || (2 * (2 * $i + 1) + 2 < $len && $arr[2 * $i + 1] < $arr[2 * (2 * $i + 1) + 2])) {
                buildBigHeap($arr, $len);
            }
        }
        //根節點小於右子樹
        if (2 * $i + 2 < $len && $arr[$i] < $arr[2 * $i + 2]) {
            //交換根節點和右子樹的值
            swap($arr, $i, 2 * $i + 2);
            // $temp = $arr[$i];
            // $arr[$i] = $arr[2 * $i + 2];
            // $arr[2 * $i + 2] = $temp;
            //檢查右子樹是否滿足大頂堆的性質，如果不滿足，則重新調整
            if ((2 * (2 * $i + 2) + 1 < $len && $arr[2 * $i + 2] < $arr[2 * (2 * $i + 2) + 1])
            || (2 * (2 * $i + 2) + 2 < $len && $arr[2 * $i + 2] < $arr[2 * (2 * $i + 2) + 2])) {
                buildBigHeap($arr, $len);
            }
        }
    }
}

/**
 * 交換兩個值
 * m n 為陣列的下標
 */
function swap(&$arr, $m, $n) {
    $temp = $arr[$m];
    $arr[$m] = $arr[$n];
    $arr[$n] = $temp;
}

三、大頂堆的排序過程

將待排序序列構造成一個大頂堆，此時，整個序列的最大值就是堆頂的根節點。將其與末尾元素進行交換，此時末尾就為最大值。然後將剩餘n-1個元素重新構造成一個堆，這樣會得到n個元素的次小值，如此反覆執行，便能得到一個有序序列了。

是不是對上面這一大段文字很頭疼？其實排序過程用下面 4 步就能概括：
第 1 步：先 n 個元素的無序序列，構建成大頂堆
第 2 步：將根節點與最後一個元素交換位置，（將最大元素"沉"到陣列末端）
第 3 步：交換過後可能不再滿足大頂堆的條件，所以需要將剩下的 n-1 個元素重新構建成大頂堆
第 4 步：重複第 2 步、第 3 步直到整個陣列排序完成。

/**
 * 交換交換根節點和陣列末尾元素的值
 */
function adjustHeap(&$heap, $len) {
    $temp = $heap[0];
    $heap[0] = $heap[$len - 1];
    $heap[$len - 1] = $temp;
}
/**
 * 堆排序
 */
function heapSort(&$arr) {
    $len = count($arr);
    for ($i = $len; $i > 0; $i--) {
        buildBigHeap($arr, $i);
        adjustHeap($arr, $i);
    }
}

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