https://codeforces.com/contest/1879/problem/D
關鍵在於互換兩個 \(\sum\) 的順序
一般像這樣計算所有子區間的式子，如果要最佳化成接近線性，有一種可行思路是把注意力放在右端點，透過不斷移動右端點，在移動的時候利用前面的統計結果算出移動右端點後的結果，從而得出所有子區間的答案。然後還有一個顯然有用的套路是字首和，這裡記 $s_i=a_1 \oplus a_2\oplus ···\oplus a_{n-1}\oplus a_n $ ，\(s_{i,j}\) 為 \(s_i\) 二進位制的第 \(j\) 位，我們會發現 \(\sum_{l=1}^{n}\sum_{r=l}^{n}f(l,r)=\sum_{i=0}^{32}\sum_{l=1}^{n}\sum_{r=l}^{n}s_{l,i} \oplus s_{r,i}\times 2^i\)
由於上面的式子可以最佳化成 \(O(n\operatorname{log}V)\)，我們受到啟發推出下面的式子
\(\sum_{l=1}^{n}\sum_{r=l}^{n}f(l,r)\times(r-l+1)\)
\(=\sum_{r=1}^{n}\sum_{l=1}^{r}f(l,r)\times(r-l+1)(調換∑位置)\)
\(=\sum_{r=1}^{n}\sum_{l=1}^{r}\sum_{i=0}^{32} s_{l,i} \oplus s_{r,i}\times 2^i\times(r-l+1)\)
\(=\sum_{r=1}^{n}\sum_{i=0}^{32} \sum_{l=1}^{r}[ s_{r,i}\oplus s_{l,i} =1]\times 2^i\times(r-l+1)\)
\(=\sum_{r=1}^{n}\sum_{i=0}^{32} 2^i\times\sum_{l=1}^{r}([ s_{r,i}\oplus s_{l,i} =1]\times r-[ s_{r,i}\oplus s_{l,i} =1] \times (l-1))\)
把 \(r\) 視作常量再觀察上面的式子，你就會發現最後一維可以被最佳化掉，因為 $\displaystyle \sum_{l=1}^{r}[ s_{r,i}\oplus s_{l,i} =1]\times r $ 和 \(\displaystyle \sum_{l=1}^{r}[ s_{r,i}\oplus s_{l,i} =1]\times (l-1)\) 都可以預處理。
void solve()
{
// #define tests
int n; std::cin >> n;
std::vector<int> a(n); for (auto& x : a) {std::cin >> x;}
PrefixXor<i64> pre_xor(a);
std::vector cnt(2, std::vector<Z>(31));
auto sum(cnt);//維護該數之前該位上為0/1的個數
cnt[0].assign(31, 1);//一開始0的個數賦成1
Z ans = 0;
for (int r = 1; r <= n; r++) {//固定r，更新答案
for (int j = 30; j >= 0; j--) {
int x = (pre_xor(r) >> j & 1);
ans += (cnt[x ^ 1][j] * r - sum[x ^ 1][j]) * (1 << j);//找當前位相反的數碼的數量，只用這樣才能產生貢獻，即異或和為 1
sum[x][j] += r; cnt[x][j] += 1;
}
}
std::cout << ans << '\n';
}