帶有下取整的求和的極限

黃志斌發表於2020-01-11

《怎樣解題：數學競賽攻關寶典（第3版）》第 312 頁：

根據本書第 307 頁例 9.3.8，把這個和式的極限化為定積分：

最後一步是利用

在《具體數學：電腦科學基礎（第2版）》第 71 頁的式 (3.26) 中取 m = 2（x 替換為 1/x）就得到上式

上述定積分的被積函式的值只能是 0 或 1。當 x ∈(0, 1] 時，1/x ∈ [1, +∞)，並且當且僅當 1/x 屬於以下區間時被積函式的值是 1：

因此，我們有

倒數第 2 步是利用對數函式的泰勒級數展開

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