同構——分紅包問題

這是一道小學三年級上學期，數學廣角中關於搭配的題目。大意說，高個子舅舅春節回家，想給三個可愛的孩子小明、小強、小紅一些紅包用來買過年的玩具。他準備了6個紅包，每個裡面10元錢。每個小朋友肯定能得到紅包，但不一定均分。問一共有幾種發的方法。

這道題目如果程式設計暴力窮舉的話會非常容易，但是如何用簡單直觀的方法讓小朋友明白卻並不簡單。其中一個方法是，為了保證每個小朋友都得到紅包，先每人發一個。

[1, 1, 1]

然後舅舅手裡還剩三個紅包，每個紅包可以給三個小朋友，這樣3 x 3 x 3 = 27，共有27種發法。但是這27種中有很多重複的，例如先把第一紅包給小明，第二個給小紅，第三個再次給小明，結果是[2, 0, 1]；但把第一個給小紅，後兩個給小明，雖然發放次序不同，可是結果仍然是[2, 0, 1]。

如果分別列出27種結果，然後去掉重複的（有超過一半都是重複的），這個過程對小朋友來說既容易出錯，也很繁瑣。

例如：

let expand = \(a, b, c) -> [(a+1, b, c), (a, b+1, c), (a, b, c+1)] in 
   concatMap expand $ concatMap expand $ concatMap expand [(1, 1, 1)]

列出所有27種結果，可以看到裡面有多少種是重複的：

[(4,1,1),(3,2,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,3,1),
(2,2,2),(3,1,2),(2,2,2),(2,1,3),(3,2,1),
(2,3,1),(2,2,2),(2,3,1),(1,4,1),(1,3,2),
(2,2,2),(1,3,2),(1,2,3),(3,1,2),(2,2,2),
(2,1,3),(2,2,2),(1,3,2),(1,2,3),(2,1,3),
(1,2,3),(1,1,4)]

有沒有更簡單點的辦法呢？先每人發一個紅包沒問題，為了排除重複情況，舅舅剩下的3個紅包不管怎麼發，一共有3類不同的情況：

1. 剩下的均分，每人再得一個，這樣只有一種結果[1, 1, 1] + [1, 1, 1] = [2, 2, 2];
2. 剩下的都發給一個小朋友，這樣有三種結果：小明得到剩下的3個，或者小強，或者小紅；
3. 一個小朋友得到剩下的兩個，一個得到剩下的1個。選得到兩個紅包的小朋友有3種，在此基礎上再從其餘2個小朋友中選一個得到剩下的1個紅包。這樣共有3 x 2 = 6種。

綜合上述三種情況，共有1 + 3 + 6 = 10種分法。這個方法小朋友能夠理解，但是仍然有些麻煩。有沒有更加簡單優美的方法呢？

這時就要讓強大的同構思想上場了。我們先給小朋友們講另外一個故事。媽媽的三個女兒要出嫁了，她摘下了自己頸上的一串珍珠項鍊。上面有六顆又大又圓的珍珠：

o - o - o - o - o - o

媽媽拿起剪刀想把它拆成三段，分給三個女兒，有多少種分法呢？

6顆珍珠5段絲線，媽媽剪兩刀可以分成三段。第一刀有5種選擇，第二刀有4種選擇。如果第一刀剪在A位置，第二刀剪在B位置。那麼如果讓時光倒流，前後反轉——第一刀剪在B位置，第二刀剪在A位置。得到的結果是一樣的。所以一共有 5 x 4 / 2 = 10種方法。

我們一下子就看出，分紅包問題和珍珠項鍊問題是同構的，紅包對應珍珠，三個小朋友對應三個女兒，媽媽對應舅舅，絲線剪刀對應紅包的分割。

下面是一個快速驗證（不是證明）：

[(a, b, c) | a <- [1..4], b <- [1..4], c<-[1..4], a + b + c ==6]
[(1,1,4),(1,2,3),(1,3,2),(1,4,1),(2,1,3),(2,2,2),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(4,1,1)]

length [(a, b, c) | a <- [1..4], b <- [1..4], c<-[1..4], a + b + c ==6]
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作為擴充套件，這裡有一個思考題：如果可以允許有小朋友沒有得到紅包，有幾種分法？怎樣能得到優雅直觀的思路？

《同構——程式設計中的數學》中文版已可以從github上下載：https://github.com/liuxinyu95/unplugged