隱馬爾可夫模型

xyzlotus發表於2009-03-16

隱馬爾可夫模型狀態變遷圖（例子）
x — 隱含狀態
y — 可觀察的輸出
a — 轉換概率（transition probabilities）
b — 輸出概率（output probabilities）

隱馬爾可夫模型（Hidden Markov Model，HMM）是統計模型，它用來描述一個含有隱含未知引數的馬爾可夫過程。其難點是從可觀察的引數中確定該過程的隱含引數。然後利用這些引數來作進一步的分析，例如模式識別。

在正常的馬爾可夫模型中，狀態對於觀察者來說是直接可見的。這樣狀態的轉換概率便是全部的引數。而在隱馬爾可夫模型中,狀態並不是直接可見的，但受狀態影響的某些變數則是可見的。每一個狀態在可能輸出的符號上都有一概率分佈。因此輸出符號的序列能夠透露出狀態序列的一些資訊。

馬爾可夫模型的演化

上邊的圖示強調了HMM的狀態變遷。有時，明確的表示出模型的演化也是有用的,我們用x（t₁）與x（t₂）來表達不同時刻t₁ 和t₂的狀態。

在這個圖中,每一個時間塊（x(t), y(t)）都可以向前或向後延伸。通常，時間的起點被設定為t=0 或 t=1.

使用隱馬爾可夫模型

HMM有三個經典(canonical)問題:

已知模型引數，計算某一特定輸出序列的概率.通常使用forward演算法解決.
已知模型引數，尋找最可能的能產生某一特定輸出序列的隱含狀態的序列.通常使用Viterbi演算法解決.
已知輸出序列，尋找最可能的狀態轉移以及輸出概率.通常使用Baum-Welch演算法以及Reversed Viterbi演算法解決.

另外,最近的一些方法使用Junction tree演算法來解決這三個問題。

具體例項

假設你有一個住得很遠的朋友,他每天跟你打電話告訴你他那天作了什麼.你的朋友僅僅對三種活動感興趣:公園散步,購物以及清理房間.他選擇做什麼事情只憑天氣.你對於他所住的地方的天氣情況並不瞭解,但是你知道總的趨勢.在他告訴你每天所做的事情基礎上,你想要猜測他所在地的天氣情況.

你認為天氣的執行就像一個馬爾可夫鏈.其有兩個狀態 "雨"和"晴",但是你無法直接觀察它們,也就是說,它們對於你是隱藏的.每天,你的朋友有一定的概率進行下列活動:"散步", "購物", 或 "清理". 因為你朋友告訴你他的活動,所以這些活動就是你的觀察資料.這整個系統就是一個隱馬爾可夫模型HMM.

你知道這個地區的總的天氣趨勢,並且平時知道你朋友會做的事情.也就是說這個隱馬爾可夫模型的引數是已知的.你可以用程式語言(Python)寫下來:

states = ('Rainy', 'Sunny')

bservations = ('walk', 'shop', 'clean')

start_probability = {'Rainy': 0.6, 'Sunny': 0.4}

transition_probability = {
   'Rainy' : {'Rainy': 0.7, 'Sunny': 0.3},
   'Sunny' : {'Rainy': 0.4, 'Sunny': 0.6},
   }

emission_probability = {
   'Rainy' : {'walk': 0.1, 'shop': 0.4, 'clean': 0.5},
   'Sunny' : {'walk': 0.6, 'shop': 0.3, 'clean': 0.1},
   }

在這些程式碼中,start_probability代表了你對於你朋友第一次給你打電話時的天氣情況的不確定性(你知道的只是那個地方平均起來下雨多些).在這裡,這個特定的概率分佈並非平衡的,平衡概率應該接近（在給定變遷概率的情況下）{'Rainy': 0.571, 'Sunny': 0.429}< transition_probability 表示基於馬爾可夫鏈模型的天氣變遷,在這個例子中,如果今天下雨,那麼明天天晴的概率只有30%.程式碼emission_probability 表示了你朋友每天作某件事的概率.如果下雨,有 50% 的概率他在清理房間;如果天晴,則有60%的概率他在外頭散步.

這個例子在Viterbi演算法頁上有更多的解釋。