隱馬爾科夫模型HMM（四）維特比演算法解碼隱藏狀態序列
在本篇我們會討論HMM模型最後一個問題的求解，即即給定模型和觀測序列，求給定觀測序列條件下，最可能出現的對應的隱藏狀態序列。在閱讀本篇前，建議先閱讀這個系列的第一篇以熟悉HMM模型。
HMM模型的解碼問題最常用的演算法是維特比演算法，當然也有其他的演算法可以求解這個問題。同時維特比演算法是一個通用的求序列最短路徑的動態規劃演算法，也可以用於很多其他問題，比如之前講到的文字挖掘的分詞原理中我們講到了單獨用維特比演算法來做分詞。
本文關注於用維特比演算法來解碼HMM的的最可能隱藏狀態序列。
1. HMM最可能隱藏狀態序列求解概述
在HMM模型的解碼問題中，給定模型$\lambda = (A, B, \Pi)$和觀測序列$O =\{o_1,o_2,...o_T\}$，求給定觀測序列O條件下，最可能出現的對應的狀態序列$I^*= \{i_1^*,i_2^*,...i_T^*\}$,即$P(I^*|O)$要最大化。
一個可能的近似解法是求出觀測序列$O$在每個時刻$t$最可能的隱藏狀態$i_t^*$然後得到一個近似的隱藏狀態序列$I^*= \{i_1^*,i_2^*,...i_T^*\}$。要這樣近似求解不難，利用隱馬爾科夫模型HMM（二）前向後向演算法評估觀察序列概率中第五節的定義：在給定模型$\lambda$和觀測序列$O$時，在時刻$t$處於狀態$q_i$的概率是$\gamma_t(i)$，這個概率可以通過HMM的前向演算法與後向演算法計算。這樣我們有：$$i_t^* = arg \max_{1 \leq i \leq N}[\gamma_t(i)], \; t =1,2,...T$$
近似演算法很簡單，但是卻不能保證預測的狀態序列是整體是最可能的狀態序列，因為預測的狀態序列中某些相鄰的隱藏狀態可能存在轉移概率為0的情況。
而維特比演算法可以將HMM的狀態序列作為一個整體來考慮，避免近似演算法的問題，下面我們來看看維特比演算法進行HMM解碼的方法。
2. 維特比演算法概述
維特比演算法是一個通用的解碼演算法，是基於動態規劃的求序列最短路徑的方法。在文字挖掘的分詞原理中我們已經講到了維特比演算法的一些細節。
既然是動態規劃演算法，那麼就需要找到合適的區域性狀態，以及區域性狀態的遞推公式。在HMM中，維特比演算法定義了兩個區域性狀態用於遞推。
第一個區域性狀態是在時刻$t$隱藏狀態為$i$所有可能的狀態轉移路徑$i_1,i_2,...i_t$中的概率最大值。記為$\delta_t(i)$:$$\delta_t(i) = \max_{i_1,i_2,...i_{t-1}}\;P(i_t=i, i_1,i_2,...i_{t-1},o_t,o_{t-1},...o_1|\lambda),\; i =1,2,...N$$
由$\delta_t(i)$的定義可以得到$\delta$的遞推表示式：$$\begin{align} \delta_{t+1}(i) & = \max_{i_1,i_2,...i_{t}}\;P(i_{t+1}=i, i_1,i_2,...i_{t},o_{t+1},o_{t},...o_1|\lambda) \\ & = \max_{1 \leq j \leq N}\;[\delta_t(j)a_{ji}]b_i(o_{t+1})\end{align}$$
第二個區域性狀態由第一個區域性狀態遞推得到。我們定義在時刻$t$隱藏狀態為$i$的所有單個狀態轉移路徑$(i_1,i_2,...,i_{t-1},i)$中概率最大的轉移路徑中第$t-1$個節點的隱藏狀態為$\Psi_t(i)$,其遞推表示式可以表示為：$$\Psi_t(i) = arg \; \max_{1 \leq j \leq N}\;[\delta_{t-1}(j)a_{ji}]$$
有了這兩個區域性狀態，我們就可以從時刻0一直遞推到時刻$T$，然後利用$\Psi_t(i)$記錄的前一個最可能的狀態節點回溯，直到找到最優的隱藏狀態序列。
3. 維特比演算法流程總結
現在我們來總結下維特比演算法的流程：
輸入：HMM模型$\lambda = (A, B, \Pi)$，觀測序列$O=(o_1,o_2,...o_T)$
輸出：最有可能的隱藏狀態序列$I^*= \{i_1^*,i_2^*,...i_T^*\}$
1）初始化區域性狀態：$$\delta_1(i) = \pi_ib_i(o_1),\;i=1,2...N$$$$\Psi_1(i)=0,\;i=1,2...N$$
2) 進行動態規劃遞推時刻$t=2,3,...T$時刻的區域性狀態：$$\delta_{t}(i) = \max_{1 \leq j \leq N}\;[\delta_{t-1}(j)a_{ji}]b_i(0_{t}),\;i=1,2...N$$$$\Psi_t(i) = arg \; \max_{1 \leq j \leq N}\;[\delta_{t-1}(j)a_{ji}],\;i=1,2...N$$
3) 計算時刻$T$最大的$\delta_{T}(i)$,即為最可能隱藏狀態序列出現的概率。計算時刻$T$最大的$\Psi_t(i)$,即為時刻$T$最可能的隱藏狀態。$$P* = \max_{1 \leq j \leq N}\delta_{T}(i)$$$$i_T^* = arg \; \max_{1 \leq j \leq N}\;[\delta_{T}(i)]$$
4) 利用區域性狀態$\Psi(i)$開始回溯。對於$t=T-1,T-2,...,1$：$$i_t^* = \Psi_{t+1}(i_{t+1}^*)$$
最終得到最有可能的隱藏狀態序列$I^*= \{i_1^*,i_2^*,...i_T^*\}$
4. HMM維特比演算法求解例項
下面我們仍然用隱馬爾科夫模型HMM（一）HMM模型中盒子與球的例子來看看HMM維特比演算法求解。
我們的觀察集合是:$$V=\{紅，白\}，M=2$$
我們的狀態集合是：$$Q =\{盒子1，盒子2，盒子3\}， N=3 $$
而觀察序列和狀態序列的長度為3.
初始狀態分佈為：$$\Pi = (0.2,0.4,0.4)^T$$
狀態轉移概率分佈矩陣為：
$$A = \left( \begin{array} {ccc} 0.5 & 0.2 & 0.3 \\ 0.3 & 0.5 & 0.2 \\ 0.2 & 0.3 &0.5 \end{array} \right) $$
觀測狀態概率矩陣為：
$$B = \left( \begin{array} {ccc} 0.5 & 0.5 \\ 0.4 & 0.6 \\ 0.7 & 0.3 \end{array} \right) $$
球的顏色的觀測序列:$$O=\{紅，白，紅\}$$
按照我們上一節的維特比演算法，首先需要得到三個隱藏狀態在時刻1時對應的各自兩個區域性狀態，此時觀測狀態為1：
$$\delta_1(1) = \pi_1b_1(o_1) = 0.2 \times 0.5 = 0.1$$
$$\delta_1(2) = \pi_2b_2(o_1) = 0.4 \times 0.4 = 0.16$$
$$\delta_1(3) = \pi_3b_3(o_1) = 0.4 \times 0.7 = 0.28$$
$$\Psi_1(1)=\Psi_1(2) =\Psi_1(3) =0$$
現在開始遞推三個隱藏狀態在時刻2時對應的各自兩個區域性狀態，此時觀測狀態為2：
$$\delta_2(1) = \max_{1\leq j \leq 3}[\delta_1(j)a_{j1}]b_1(o_2) = \max_{1\leq j \leq 3}[0.1 \times 0.5, 0.16 \times 0.3, 0.28\times 0.2] \times 0.5 = 0.028$$
$$\Psi_2(1)=3$$
$$\delta_2(2) = \max_{1\leq j \leq 3}[\delta_1(j)a_{j2}]b_2(o_2) = \max_{1\leq j \leq 3}[0.1 \times 0.2, 0.16 \times 0.5, 0.28\times 0.3] \times 0.6 = 0.0504$$
$$\Psi_2(2)=3$$
$$\delta_2(3) = \max_{1\leq j \leq 3}[\delta_1(j)a_{j3}]b_3(o_2) = \max_{1\leq j \leq 3}[0.1 \times 0.3, 0.16 \times 0.2, 0.28\times 0.5] \times 0.3 = 0.042$$
$$\Psi_2(3)=3$$
繼續遞推三個隱藏狀態在時刻3時對應的各自兩個區域性狀態，此時觀測狀態為1：
$$\delta_3(1) = \max_{1\leq j \leq 3}[\delta_2(j)a_{j1}]b_1(o_3) = \max_{1\leq j \leq 3}[0.028 \times 0.5, 0.0504 \times 0.3, 0.042\times 0.2] \times 0.5 = 0.00756$$
$$\Psi_3(1)=2$$
$$\delta_3(2) = \max_{1\leq j \leq 3}[\delta_2(j)a_{j2}]b_2(o_3) = \max_{1\leq j \leq 3}[0.028 \times 0.2, 0.0504\times 0.5, 0.042\times 0.3] \times 0.4 = 0.01008$$
$$\Psi_3(2)=2$$
$$\delta_3(3) = \max_{1\leq j \leq 3}[\delta_2(j)a_{j3}]b_3(o_3) = \max_{1\leq j \leq 3}[0.028 \times 0.3, 0.0504 \times 0.2, 0.042\times 0.5] \times 0.7 = 0.0147$$
$$\Psi_3(3)=3$$
此時已經到最後的時刻，我們開始準備回溯。此時最大概率為$\delta_3(3)$,從而得到$i_3^* =3$
由於$\Psi_3(3)=3$,所以$i_2^* =3$, 而又由於$\Psi_2(3)=3$,所以$i_1^* =3$。從而得到最終的最可能的隱藏狀態序列為：$(3,3,3)$
5. HMM模型維特比演算法總結
如果大家看過之前寫的文字挖掘的分詞原理中的維特比演算法，就會發現這兩篇之中的維特比演算法稍有不同。主要原因是在中文分詞時，我們沒有觀察狀態和隱藏狀態的區別，只有一種狀態。但是維特比演算法的核心是定義動態規劃的區域性狀態與區域性遞推公式，這一點在中文分詞維特比演算法和HMM的維特比演算法是相同的，也是維特比演算法的精華所在。
維特比演算法也是尋找序列最短路徑的一個通用方法，和dijkstra演算法有些類似，但是dijkstra演算法並沒有使用動態規劃，而是貪心演算法。同時維特比演算法僅僅侷限於求序列最短路徑，而dijkstra演算法是通用的求最短路徑的方法。
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