SPFA演算法

是一種求單源最短路的演算法

演算法中需要用到的主要變數

int n;  //表示n個點，從1到n標號

int s,t;  //s為源點，t為終點

int d[N];  //d[i]表示源點s到點i的最短路

int p[N];  //記錄路徑（或者說記錄前驅）

queue <int> q;  //一個佇列，用STL實現，當然可有手打佇列，無所謂

bool vis[N];   //vis[i]=1表示點i在佇列中 vis[i]=0表示不在佇列中

 

 

幾乎所有的最短路演算法其步驟都可以分為兩步

1.初始化

2.鬆弛操作

 

初始化： d陣列全部賦值為INF（無窮大）；p陣列全部賦值為s（即源點），或者賦值為-1，表示還沒有知道前驅

             然後d[s]=0;  表示源點不用求最短路徑，或者說最短路就是0。將源點入隊；

　　　　（另外記住在整個演算法中有頂點入隊了要記得標記vis陣列，有頂點出隊了記得消除那個標記）

佇列+鬆弛操作

讀取隊頭頂點u，並將隊頭頂點u出隊（記得消除標記）；將與點u相連的所有點v進行鬆弛操作，如果能更新估計值（即令d[v]變小），那麼就更新，另外，如果點v沒有在佇列中，那麼要將點v入隊（記得標記），如果已經在佇列中了，那麼就不用入隊

以此迴圈，直到隊空為止就完成了單源最短路的求解

 

SPFA可以處理負權邊

定理: 只要最短路徑存在，上述SPFA演算法必定能求出最小值。

證明：

　　每次將點放入隊尾，都是經過鬆弛操作達到的。換言之，每次的優化將會有某個點v的最短路徑估計值d[v]變小。所以演算法的執行會使d越來越小。由於我們假定圖中不存在負權迴路，所以每個結點都有最短路徑值。因此，演算法不會無限執行下去，隨著d值的逐漸變小，直到到達最短路徑值時，演算法結束，這時的最短路徑估計值就是對應結點的最短路徑值。（證畢）

期望的時間複雜度O(ke)， 其中k為所有頂點進隊的平均次數，可以證明k一般小於等於2。

 

判斷有無負環：

　　如果某個點進入佇列的次數超過N次則存在負環（SPFA無法處理帶負環的圖）

 

 

 

SPFA的兩種寫法，bfs和dfs，bfs判別負環不穩定，相當於限深度搜尋，但是設定得好的話還是沒問題的，dfs的話判斷負環很快

int spfa_bfs(int s)
{
    queue <int> q;
    memset(d,0x3f,sizeof(d));
    d[s]=0;
    memset(c,0,sizeof(c));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
 
    q.push(s);  vis[s]=1; c[s]=1;
    //頂點入隊vis要做標記，另外要統計頂點的入隊次數
    int OK=1;
    while(!q.empty())
    {
        int x;
        x=q.front(); q.pop();  vis[x]=0;
        //隊頭元素出隊，並且消除標記
        for(int k=f[x]; k!=0; k=nnext[k]) //遍歷頂點x的鄰接表
        {
            int y=v[k];
            if( d[x]+w[k] < d[y])
            {
                d[y]=d[x]+w[k];  //鬆弛
                if(!vis[y])  //頂點y不在隊內
                {
                    vis[y]=1;    //標記
                    c[y]++;      //統計次數
                    q.push(y);   //入隊
                    if(c[y]>NN)  //超過入隊次數上限，說明有負環
                        return OK=0;
                }
            }
        }
    }
 
    return OK;
 
}

 

int spfa_dfs(int u)
{
    vis[u]=1;
    for(int k=f[u]; k!=0; k=e[k].next)
    {
        int v=e[k].v,w=e[k].w;
        if( d[u]+w < d[v] )
        {
            d[v]=d[u]+w;
            if(!vis[v])
            {
                if(spfa_dfs(v))
                    return 1;
            }
            else
                return 1;
        }
    }
    vis[u]=0;
    return 0;
}