Bellmanford與Spfa解決存在負邊權的單源匯最短路問題

书面發表於2024-08-26

上個文章講了Dijkstra演算法但是Dijkstra演算法只能解決單源匯非負邊權的最短路問題這次文章來講單源匯存在負邊權的解決方法Bellmanforda和spfa演算法

二者適用場景區別:

一般來說使用spfa就能解決大部分的問題,但問題出現不超過k條邊的時候應當使用Bellmanford演算法

BellmanFord：

隨意存圖這裡用結構體存

struct edge
{
   int a,b,w;
}edges[M];

dist[N]存距離 dist初始化為無窮大 dist[1]=0 backup備份dist

for (n) 這裡的n是不超過n條邊,如果題目要求不超過k條邊最外層迴圈k次!

​ memcpy(backup,dist)用backup備份上一次的dist防止串聯

​ for(n)遍歷所有邊 a,b,w a–>b

​ {

​ int a=edge[i].a,b=edge[i].b,w=edge[i].w;

​ memcpy(backup,dist)用backup備份上一次的dist防止串聯

​ 鬆弛操作 dist[b]=min(dist[b],backup[a]+w)

​ }

if dist[n]>0x3f3f3f3f/2 return 0x3f3f3f3f 無法到達

else return dist [n]

int dist[N],backup[N];
struct edge
{
   int a,b,w;
}edges[M];

int bellman_ford
{
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    dist[1]=0;
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        memcpy(backup,dist,sizeof dist);
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            int a=e[j].a,b=e[j].b,w=e[j].w;
            dist[b]=min(dist[b],backup[a]+w);
        }
        
    }
    if(dist[n]>0x3f3f3f3f/2)return 0x3f3f3f3f;
    else return dist[n];
}

注意: bellmanford演算法最核心的就是鬆弛操作 還要記得存dist的備份防止串聯

時間複雜度:O(n*m)

Spfa:

Spfa:找到dist變小的節點(這些節點都存在佇列q中) 取出對頭 u然後彈出佇列標記為未變短的點

用對其他點進行鬆弛操作

成功進行鬆弛操作的點(距離變短的點)存入q st[j]=true;

起點1 —>q (起點1入隊) st[1]=true;

while(q.size())

  1. 取出對頭 u<——q.front() 彈出對頭q.pop() st[u]=false;

  2. 用u對其他點進行鬆弛操作 更新u的出邊

    如果j點被成功更新 j點入隊 q.push(j),st[j]=true

const int N=510;
int idx,e[N],ne[N],h[N],w[N]
int dist[N];
bool st[N];
int spfa()
{
    memset(dist,0x3f3f3f3f,sizeof dist);
    queue<int>q;
    q.push(1);
    dist[1]=0;
    st[1]=true;
    while(q.size())
    {
        int u=q.front(),q.pop();
        st[u]=false;
        
        for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i])
        {
            int j=e[i];
            if(dist[j]>dist[u]+w[i])
            {
                dist[j]=dist[u]+w[i];
                if(!st[j])
                {
                    st[j]=true;
                    q.push(j);
                }
            }            
        }

    }
	if(dist[n]>0x3f3f3f3f/2)return 0x3f3f3f3f;
    else return dist[n];
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    while(m--)
    {
        int a,b,w;
        add(a,b,w);
    }
    int t=spfa();
    
    
}

時間複雜度:一般 O(M)最壞O(N*M)

Spfa求負環

初始化所有點都進q

dist[x]:1到x的最短距離

cnt[x]:1到x的邊數

dist[x]=dist[t]+w[i];

cnt[x]=cnt[t]+1;

如果中途cnt[x]>=n 至少經過n+1個點 根據抽屜原理有兩個點必相同 存在負環直接return

程式碼如下:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int N = 150010;
typedef pair<int,int> PII;
bool st[N];
int n,m;
int dist[N],cnt[N];
int h[N],e[N],ne[N],idx,w[N],d[N];
void add(int a,int b,int c)
{
    w[idx]=c,e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}

int spfa()
{
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    dist[1]=0;
    queue<int>q;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        q.push(i);
        st[i]=true;
    }
    
    
    
    while(q.size())
    {
        auto t=q.front();
        q.pop();
        st[t]=false;
        
        for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i])
        {
            int u=e[i];
            if(dist[u]>dist[t]+w[i])
            {
                dist[u]=dist[t]+w[i];
                cnt[u]=cnt[t]+1;
                if(cnt[u]>=n)return true;
                if(!st[u])
                {
                    q.push(u);
                    st[u]=true;
                    
                }
                
            }
            
        }
        
        
        
    }
    
    
    
    
    return false;
}

int main()
{
    	ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    
    cin>>n>>m;
    memset(h,-1,sizeof h);
    while(m--)
    {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        add(a,b,c);
    }
    auto t =spfa();
    if(spfa())cout<<"Yes"<<endl;
    else cout << "No"<<endl;

   return 0;
}

相關文章