TensorFlow系列專題（五）：BP演算法原理

目錄：

• 反向傳播演算法簡介

• 前饋計算的過程

• 第一層隱藏層的計算

• 第二層隱藏層的計算

• 輸出層的計算

• 反向傳播的計算

• 計算偏導數

• 參考文獻

一．反向傳播演算法

反向傳播演算法[1]（Backpropagation Algorithm，簡稱BP演算法）是深度學習的重要思想基礎，對於初學者來說也是必須要掌握的基礎知識，在這一小節裡，我們會較為詳細的介紹這一重點知識。

我們使用一個如圖1所示的神經網路，該圖所示是一個三層神經網路，兩層隱藏層和一層輸出層，輸入層有兩個神經元，接收輸入樣本(x1,x2)，為網路的輸出。

圖1 一個三層神經網路

二．前饋計算的過程

為了理解神經網路的運算過程，我們需要先搞清楚前饋計算，即資料沿著神經網路前向傳播的計算過程，以圖1所示的網路為例：

輸入的樣本為：

公式1

第一層網路的引數為：

公式2

第二層網路的引數為：

 公式3

第三層網路的引數為：

公式4

·第一層隱藏層的計算

圖2 計算第一層隱藏層

第一層隱藏層有三個神經元：neu1、neu2和neu3。該層的輸入為：

公式5

以neu1神經元為例，則其輸入為：

公式6

同理有：

公式7

公式8

假設我們選擇函式f(x)作為該層的啟用函式（圖1中的啟用函式都標了一個下標，一般情況下，同一層的啟用函式都是一樣的，不同層可以選擇不同的啟用函式），那麼該層的輸出為：

·第二層隱藏層的計算

圖3 計算第二層隱藏層

第二層隱藏層有兩個神經元：neu4和neu5。該層的輸入為：

公式9

即第二層的輸入是第一層的輸出乘以第二層的權重，再加上第二層的偏置。因此得到neu4和neu5的輸入分別為：

公式10

公式11

該層的輸出分別為：

·輸出層的計算

圖4 計算輸出層

輸出層只有一個神經元：neu6。該層的輸入為：

公式12

即：

公式13

因為該網路要解決的是一個二分類問題，所以輸出層的啟用函式也可以使用一個Sigmoid型函式，神經網路最後的輸出為：

三．反向傳播的計算

上一小節裡我們已經瞭解了資料沿著神經網路前向傳播的過程，這一節我們來介紹更重要的反向傳播的計算過程。假設我們使用隨機梯度下降的方式來學習神經網路的引數，損失函式定義為

其中y是該樣本的真實類標。使用梯度下降進行引數的學習，我們必須計算出損失函式關於神經網路中各層引數（權重w和偏置b）的偏導數。

假設我們要對第k層隱藏層的

假設代表第k層神經元的輸入，即

其中n^(k-1)為前一層神經元的輸出，則根據鏈式法則有：

公式14

公式15

因此，我們只需要計算偏導數

·計算偏導數

前面說過，第k層神經元的輸入為：，因此可以得到：

公式16

我們以1.1節中的簡單神經網路為例，假設我們要計算第一層隱藏層的神經元關於權重矩陣的導數，則有：

公式17

·計算偏導數

因為偏置b是一個常數項，因此偏導數的計算也很簡單：

公式18

依然以第一層隱藏層的神經元為例，則有：

公式19

·計算偏導數

根據第一節的前向計算，我們知道第k+1層的輸入與第k層的輸出之間的關係為：

公式20

公式21

公式22

公式23

下面是基於隨機梯度下降更新引數的反向傳播演算法：

輸入：

以上是BP演算法的介紹，下次文章中有一個BP演算法計算的完整示例，希望加深理解的讀者可以跟著示例計算一遍。

四．參考文獻

[1]. Learing representations by back-propagatingerros.David E.Rumelhart,Geoffrey E.Hinton,Ronald J.Williams

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