分詞問題；及最大乘積分析

今日面試題：分詞問題

給定字串，以及一個字典，判斷字串是否能夠拆分為欄位中的單詞。例如，欄位為{hello，world}，字串為hellohelloworld，則可以拆分為hello,hello,world，都是字典中的單詞。

==================================================

最大乘積分析

原題

一根繩子，長度為n米。將其切成幾段，每一段的長度都是整數。請給出一種切法，使得切成的各段繩子之間的乘積是最大的。注意，最少要切一下的。

分析

這個題目如何一步一步的分析呢？不管切幾段，總有第一段，第二段…等等。第一段的長度有哪些選擇呢？可以是1、2、3...一直到n-1（至少要切一下），我們用max_prod(n)表示長度為n的繩子的切法中，乘積最大的值。那麼：

1. 當第一段長度為1時，最大的乘積為：max(1×max_prod(n-1), 1×(n-1))

2. 當第一段長度為2時，最大的乘積為：max(2×max_prod(n-2), 2×(n-2))

3. …

4. 當第一段長度為n-1時，最大的乘積為：(n-1)*1=n-1

上面為什麼是取max呢？注意，題目中的要求，至少是要切一下的。這樣，從上面的分析中得出，遞迴的表示式，設第一段繩子的長度為i，取 值範圍為[1,n-1]，則，對於每一個i，有最大乘積為:max(i×(n-i),i×max_prod(n-i))。然後對所有的i，求的最大值，就 是最終的答案。

這個題目到這裡完了麼？看過我們以前分析的同學，很快就能想到，進而檢視，這些子問題中是否有重複的，如果有，則可以採用動態規劃的方法進行演算法改 進。而檢視是否有重複遞迴子問題，一個比較好的方法，就是在紙上畫出遞迴樹，然後是否有重複的遞迴子問題。就一目瞭然了。這個題目是比較明顯的，同學們可 以嘗試自己在紙上畫畫，練習一下。

既然，我們已經明確了重複的遞迴子問題，然後呢？相信專門學習過動態規劃專題的同學，都會記得這樣的一句話：“自頂向下的分析問題，自底向上的解決 問題”，大概類似，可能並不是原話。自底向上解決問題的意思就是先解決小問題，然後依據這些小問題的結果，再解決一批問題，依次直至解決整個問題：

1. 當繩子的長度為1的時候，忽略，不能切

2. 當繩子的長度為2的時候，切一刀，max_prod[2]=1×1

3. 當繩子的長度為3的時候，切一刀，max_prod[3]=1×2

4. 當繩子的長度為4的時候，依賴前面每一個長度的切法，並且，第一個長度從2開始。

5. …

這個，狀態轉移方程可以表示為:max_prod[i]=max((i-j)×j, j×max_prod[i-j])，其中j的範圍是[1,i/2]。顯然，動態規劃方法的時間複雜度為O(n^2)，空間複雜度為O(n)。

這個問題，到這裡，已經挺不錯的。不過，還沒完，這個題目是有更加巧妙的方法的。在微博上，有的同學給出瞭如下的方法：只需要將長度n表示為 3x+2y=n，並且3儘可能的多，這樣的3^x+2^y是最大的。不得不讚嘆，這確實是一個很巧妙的方法。大家可以通過例子，驗證幾個。為什麼只有3和 2呢？長度為4的，就是2×2，5以上的，都可以分解為3x+2y，並且3^x+2^y>5以上的數字。這個題目要求是整數，如果取消這個限制呢？ 擴充思路，舉一反三，請大家多多思考。

【分析完畢】

本文來自微信：待字閨中，2013-10-14釋出，原創@陳利人 ，歡迎大家繼續關注微信公眾賬號“待字閨中”。