BRDF101
概述
本文基於知乎Maple對brdf的文章，在此基礎又收集了一些其它來源的關於brdf的文章，希望能夠完全理解記憶相關知識
關於Jakub Boksansky的文章，看的過程中又去搜集了很多其它文章來理解，發現已經超出了我目前的知識厚度，因此只會簡單的翻譯一下我能理解的部分，感興趣的可以自行看原文。
侵刪~~~
Maple
文章地址：https://zhuanlan.zhihu.com/p/21376124
文章討論了BRDF(Bidirectional Reflectance Distribution Function)雙向分佈反射函式
介紹了輻射度量學、BRDF定義、如何使用BRDF計算
ScratchPixel
scratchpixel關於brdf的教學內容偏少 基本上被maple的文章內容所覆蓋 但是仍然可以起到補充的作用
地址：https://www.scratchapixel.com/lessons/3d-basic-rendering/brdf-linear-exposure/intro-brdf.html
Flux(輻射通量)、Irradiance(輻照度)與Radiance(輻射率)
結合上圖理解
輻照度可以看作量化給定點的入射光子數，而輻射率是量化給定點從特定方向的入射光子數，輻射率可以代表從給定方向觀察看到的點的顏色
其中給定點指的是很小的面積 \(dA\) 在這個極小的面積上輻射通量可以看做是不變的
而特定方向可以用一個非常小的圓柱體來表示 由於透視關係顯示為小圓錐體
並且上圖中的\(\theta\) 代表著透過該點的光子數佔總光子數的比例 當圓柱體垂直時 全部光子透過該點 當圓柱體平行該點時 透過該點的光子數為0
根據輻照度與輻射率的單位或者具體的定義
我們可以得出 一個點的總輻照度 可以透過聚合打到該點半球上所有方向的入射光線輻射率：
而當我們只考慮一個方向時 就得到了輻照度的微分表示：
而BRDF定義了入射光輻照度 和 反射光輻射率的比值：
我們經過積分 就可以得到從特定方向觀察到的某個點的顏色 即特定方向該點的輻射率：
Jakub Boksansky
Jakub Boksansky是一位來自英偉達的圖形程式設計師，他的部落格裡實現了brdf 並且也是 Ray Tracing Gems II Chapter 14 的配套程式碼
地址：https://boksajak.github.io/blog/BRDF
BRDF的性質
獨立性
BRDF 描述了給定的入射光和出射光方向組合的表面反射率。換句話說，它決定了當一定量的光從另一個方向入射時，有多少光在給定方向上反射，具體取決於表面的特性。這個公式非常靈活，因為它使我們能夠將表面材料的響應封裝到 BRDF 實現及其引數設定中，這獨立於光傳輸的底層演算法。請注意，BRDF 不區分直接和間接入射光，這意味著它可用於計算場景中放置的虛擬光（區域性照明）和從其他表面反射一次或多次的間接光（全域性照明）的貢獻。這也意味著BRDF獨立於燈光的實現，可以單獨開發和編寫（BRDF只需要知道入射光的方向及其在陰影點的強度）。
渲染演算法和光照的獨立性意味著我們可以將這種抽象的 BRDF 實現為“材質外掛”，透過簡單的 API 訪問，而且不同渲染器產生的視覺結果將是相同的。
物理上真實
為了使BRDF實現的效果更加逼真，一般要求提出的BRDF模型要滿足以下兩個條件：
Helmholtz reciprocity------入射和出射方向可以交換（因此稱為雙向），並且所得反射率將相同。請注意，某些演算法會跟蹤來自相機的光線（路徑跟蹤），其他演算法會跟蹤來自光源的光線（光子對映）或兩者都追蹤（雙向路徑跟蹤）。Helmholtz reciprocity確保所有型別的演算法得到一致的結果。
Energy conservation（能量守恆）------對於具有完全白色反照率且無吸收的表面，從表面反射的能量應等於接收到的能量
但是一些成功的模型並不滿足這些要求。 Disney 模型不是能量守恆的，而 Autodesk 模型不一定滿足Helmholtz reciprocity。迪士尼模型與單向路徑追蹤結合使用，缺乏雙向性不會帶來重大問題。完美的能量守恆也可能不是一個嚴格的要求，因為除非 BRDF 反射的能量多於它接收到的能量，否則不太可能造成問題，除了能量損失帶來的表面變暗。
幾種常見的BRDF模型
常用的向量引數講解
向量 𝑁 是給定表面的著色法線（可能來自法線貼圖）。向量𝑉，，指定從著色點到觀察者（相機）的方向，更一般地說，它指定出射光方向，在典型的路徑追蹤器中，這與光線方向相反。向量 𝐿 指向光源，或者根據上下文指定入射光線反射的方向。向量 𝐻，半向量位於 𝑉 和 𝐿 之間。它也等於第 4 節中討論的微表面模型的微表面法線。向量 𝑅 是向量 𝐿 沿法線 𝑁 的完美鏡面反射方向，向量 𝑇 是三角形平面上垂直於 𝑁 的切線。所有這些向量都被標準化。向量 𝑣 和 𝑙 是 𝑉 和 𝐿 在三角形平面上的投影。 注意\(\varphi_{v} \theta_{v}\) 與\(\varphi_{l} \theta_{l}\) 是 𝑉 與 𝐿的球面座標表達。
Lambertian diffuse BRDF
朗伯函式是用於漫反射項的最簡單的 BRDF 函式之一，它假設入射光在所有可能的方向上均勻散射（在表面法線周圍的半球內），即是完美的漫反射。
定義為：
考慮餘弦項（代表著入射光方向帶來的能量的損失）：
其中\(diffuseReflectance\)代表著有多少光被反射 \(PI\)是球面積分 保證能量守恆的結果
Phong Reflection Model
Phong引入了過去常與 Lambertian 一起使用的另一種流行的反射模型，為實時渲染提供計算成本低廉的鏡面高光。不要將 Phong 反射模型與 Phong 著色相混淆——Phong 著色是一種用於實現平滑鏡面高光的法線插值方法。雖然 Phong 的原始論文指出，他的反射模型是基於物理的，但按照今天的標準，它並不是基於物理的，因為它缺乏非鏡面峰值、菲涅爾反射等現象。
定義為：
高光的寬度由指數（通常稱為光澤度shinines）控制，這是一個無界引數，但通常將其範圍限制在 10000 左右。為了實現 Phong 模型，我們必須計算向量 𝑅 ，但正如 Blinn 在其最佳化版本中所示，可以使用半程向量 𝐻 代替
由於它既不能量守恆也不雙向，因此將其稱為這種形式的“Phong BRDF”在技術上是不正確的，但是，已經有人嘗試修復這些缺陷。 Blinn 推出了一個最佳化版本，並將 Phong 的鏡面高光與朗伯漫反射和恆定環境項相結合，建立了 Blinn-Phong 反射模型，該模型成為實時應用程式的標準，直到被更先進的基於物理的模型所取代
關於其它修正的Phong模型的BRDF 可自行到原文的參考文獻查閱
Oren-Nayar Diffuse Reflectance Model
Oren 和 Nayar 引入了更先進的漫反射反射模型，該模型考慮了表面粗糙度。他們的模型基於這樣的觀察：當視線方向接近入射光方向時，粗糙表面反射的光比Lambertian模型預測的要多（這種效應稱為反向散射，這種非Lambertian表面的一個例子是月球）。 Oren-Nayar 模型透過推廣朗伯模型並使其對錶面粗糙度和觀察方向敏感。
Oren 和 Nayar 提出了他們模型的幾個版本，並進行了不同程度的簡化。本文附帶的程式碼使用最簡單的“定性”模型：
粗糙度。。。。。
Disney (Burley) Diffuse Model
另一種流行且廣泛使用的模型是 Disney 漫射模型，有時也稱為 Burley 漫射模型。它是透過觀察測量資料得出的經驗模型。它類似於 Oren-Nayar 模型，但評估起來更簡單。它基於 Schlick 菲涅爾近似公式（見後），並擴充套件了基本朗伯模型。
定義：
微表面模型
使用微面模型的 RDF 通常被稱為基於物理的，以表明它們是根據物理定律（光學）設計的，而不是根據觀察經驗進行設計的，儘管在計算機圖形學中，我們經常使用簡化和近似來使計算簡化。
一個著名的微表面模型Cook and Torrance ：
其中各引數含義簡述如下：
D 項 – 微面分布函式 – 告訴我們有多少微面面向方向 𝐻，該方向可以將從方向 L 傳入的光沿著方向 𝑉 反射
F 項 – 菲涅爾項，評估給定入射角有多少光會從表面反射
G 項 – 幾何衰減項（也稱為掩蔽和陰影項），說明微表面的相互遮蔽，有時也用於 BRDF 的標準化
分母 – 來自使用完美鏡面作為微表面的微表面模型的推導
微表面分佈項 或者說微表面的法線分佈函式（NDF）
常用的NDF 本文介紹了兩種
一種是Beckmann：
其中\(\theta_{h}\)代表著法線與半程向量的夾角 \(\alpha\)代表著材質的粗糙率
一種是GGX：
對於上面的兩個公式 我們可以將tan角使用餘弦角來表示 因為餘弦更加容易計算 只需要一個點積：
兩者隨著餘弦角度變化的對比圖：
從上圖中可以看出 GGX有著更長的尾巴，意味著鏡面高光下降的更為緩慢，更符合現實，因此GGX被更為廣泛的應用
還有一個由 Blinn 使用 Phong 反射模型匯出的 NDF（稱為 Blinn-Phong NDF），並且在 Walter 的論文中也進行了討論，他得出的結論是，對於某些粗糙度值，Beckmann 和 Blinn-Phong 分佈非常適合相似的，這可以解釋 Phong 著色模型的長壽，因為它能夠準確地表示某些材料（尤其是塑膠）。
正如我們所看到的，每個模型的粗糙度單位可能有很大不同。 Torrance 和 Sparrow 以及 Oren-Nayar 模型直接使用正態分佈的標準差，Beckmann 和 Trowbridge-Reitz 使用斜率的統計均方根，而 Burley 使用在合理範圍內根據經驗選擇的值。當多個 BRDF 耦合在一起時（通常是鏡面反射和漫反射 BRDF），將藝術家指定的粗糙度仔細轉換為底層 BRDF 使用的粗糙度單位非常重要。
幾何遮擋項
幾何衰減項 𝐺 解釋了由於微表面的幾何形狀而導致的反射光衰減，這種衰減是在某些微面相互遮擋時發生的。
𝐺 項抵消了菲涅爾項，並導致了菲涅爾預測的高反射率因掠射角處的 𝐺 項產生的顯著陰影而減弱，對於某些粗糙度的材料會出現“非鏡面峰值”，即峰值反射率出現在較低的角度
微表面的幾何形狀由用於模擬其形狀的輪廓給出。有兩種重要的微表面輪廓：V-Cavity模型，假設微表面由一定寬度和高度的V形凹槽組成，以及基於斜率隨機分佈的Smith模型。 Cook-Torrance 和 Oren-Nayar 在他們的 BRDF 中使用了 V-Cavity模型，但正如 Heitz 的一篇文章展示的，Smith 函式是更為正確的模型，因此，我們將只討論 Smith 的𝐺函式，定義為：
其中 𝑆 是 𝐿 或 𝑉 向量，𝐻 是微表面法線，λ 是特定於所選分佈函式 (NDF) 的函式：
在考慮微表面的入射光與反射光時。我們可以發現兩者均會發生遮蔽現象，所以我們的G函式會由兩部分組成
如果我們考慮到微表面更深的面被陰影和遮蔽的可能性更高，還有一種更為精確的G函式提出：
任一形式的 𝐺函式 都可以用於前面介紹的微面模型反射公式中的 𝐺 項，但後一種更可取，因為它只是稍微貴一點但是更準確。
菲涅爾項
菲涅耳項𝐹決定了有多少光將從表面反射，有效地告訴我們有多少光將有助於評估 BRDF。剩餘部分 (1 − 𝐹) 將傳遞到底層材料層（例如，漫反射 BRDF 或透射 BTDF）。到目前為止，我們的實現僅討論了兩層（鏡面反射和漫反射），但可以建立具有多個層的複雜材質。菲涅耳項應在光從一層傳播到另一層的每個介面上進行評估。為簡單起見，各個層的厚度通常為零，但可以結合光譜渲染對某些厚度進行建模，以產生諸如當層介面比穿過它的光的波長薄時發生的衍射（虹彩）等效果。
Christophe Schlick 引入了一種廣泛使用的菲涅爾近似值，用於計算機圖形學 。正如他指出的那樣，完整的菲涅爾方程不僅計算成本昂貴，而且依賴於不直觀的折射率 𝑛 和消光 𝑘，這不符合我們對可預測且易於使用的引數的需求。更復雜的是，全折射率是一個由實部（折射率）和虛部（消光係數）組成的複數，並且是按波長指定的。這不適合使用 RGB 三元組進行渲染。 Naty Hoffman 題為“被認為有害的菲涅爾方程” 的文章對該主題進行了進一步討論，並得出結論，除非使用光譜渲染，否則完整的菲涅爾方程並不比 Schlick 近似更精確。
Schlick 近似使用這樣的觀察結果：在 90 度以下觀察時，所有材料都表現出完美的反射率，並且我們可以僅使用一個引數 ------ 法線入射（0 度到F0度）下的表面反射率來近似完整的菲涅爾方程：
其中 𝑢 是法線與觀察方向之間角度的餘弦 (𝑢 = 𝑁 ∙ 𝑉)，並且 \(F_{90}\) 等於 1，除了接下來討論的情況。請注意，折射率和消光係數已被消除，但我們現在需要指定從法線入射時的反射率\(F_{0}\)
消除折射率和消光係數簡化了計算，但也導致失去對材料是否表現為電介質（低吸收係數——塑膠、木材等）或導體（高吸收係數——銅、金等）的控制。正如 Cook 和 Torrance 所指出的，金屬反射是根據法線入射材質的基色著色的（表示為 \(F_{0}\)）。利用這些知識，我們可以透過引入一個稱為金屬度的引數來“修復”對於金屬菲涅爾反射的顏色，該引數將 \(F_{0}\) 計算為電介質的預設反射率和金屬的基色之間的混合：
\(F_{0Dielectrics}\)的常見選擇是 0.04（4% 反射率），例如 UE4 和 Frostbite 使用的
混合BRDF
在本文中，為了將鏡面 BRDF 與漫反射 BRDF 結合起來，我們使用一種基於菲涅耳項的簡單方法，將鏡面反射和漫反射 BRDF 混合在一起。請注意，微面模型已經用 𝐹 衡量鏡面 BRDF 的權重，因此我們可以用 (1 − 𝐹) 衡量漫反射 BRDF 的權重。這是受到分層材料的啟發，其中光與每一層相互作用，菲涅耳項用於評估有多少光從表面反射以及有多少散射到表面。