說說你對堆的理解？如何實現？應用場景？

林恒發表於2024-04-18

一、是什麼

堆(Heap)是電腦科學中一類特殊的資料結構的統稱

堆通常是一個可以被看做一棵完全二叉樹的陣列物件，如下圖：

總是滿足下列性質：

  • 堆中某個結點的值總是不大於或不小於其父結點的值
  • 堆總是一棵完全二叉樹

堆又可以分成最大堆和最小堆：

  • 最大堆：每個根結點，都有根結點的值大於兩個孩子結點的值
  • 最小堆：每個根結點，都有根結點的值小於孩子結點的值

二、操作

堆的元素儲存方式，按照完全二叉樹的順序儲存方式儲存在一個一維陣列中，如下圖：

用一維陣列儲存則如下：

[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]

根據完全二叉樹的特性，可以得到如下特性：

  • 陣列零座標程式碼的是堆頂元素
  • 一個節點的父親節點的座標等於其座標除以2整數部分
  • 一個節點的左節點等於其本身節點座標 * 2 + 1
  • 一個節點的右節點等於其本身節點座標 * 2 + 2

根據上述堆的特性，下面構建最小堆的建構函式和對應的屬性方法：

class MinHeap {
  constructor() {
    // 儲存堆元素
    this.heap = []
  }
  // 獲取父元素座標
  getParentIndex(i) {
    return (i - 1) >> 1
  }

  // 獲取左節點元素座標
  getLeftIndex(i) {
    return i * 2 + 1
  }

 // 獲取右節點元素座標
  getRightIndex(i) {
    return i * 2 + 2
  }

  // 交換元素
  swap(i1, i2) {
    const temp = this.heap[i1]
    this.heap[i1] = this.heap[i2]
    this.heap[i2] = temp
  }

  // 檢視堆頂元素
  peek() {
    return this.heap[0]
  }

  // 獲取堆元素的大小
  size() {
    return this.heap.length
  }
}

涉及到堆的操作有：

  • 插入
  • 刪除

插入

將值插入堆的底部，即陣列的尾部，當插入一個新的元素之後，堆的結構就會被破壞，因此需要堆中一個元素做上移操作

將這個值和它父節點進行交換，直到父節點小於等於這個插入的值，大小為k的堆中插入元素的時間複雜度為O(logk)

如下圖所示，22節點是新插入的元素，然後進行上移操作：

相關程式碼如下：

// 插入元素
insert(value) {
  this.heap.push(value)
  this.shifUp(this.heap.length - 1)
}

// 上移操作
shiftUp(index) {
  if (index === 0) { return }
  const parentIndex = this.getParentIndex(index)
  if(this.heap[parentIndex] > this.heap[index]){
    this.swap(parentIndex, index)
    this.shiftUp(parentIndex)
  }
}

刪除

常見操作是用陣列尾部元素替換堆頂，這裡不直接刪除堆頂，因為所有的元素會向前移動一位，會破壞了堆的結構

然後進行下移操作，將新的堆頂和它的子節點進行交換，直到子節點大於等於這個新的堆頂，刪除堆頂的時間複雜度為O(logk)

整體如下圖操作：

相關程式碼如下：

// 刪除元素
pop() {
  this.heap[0] = this.heap.pop()
  this.shiftDown(0)
}

// 下移操作
shiftDown(index) {
  const leftIndex = this.getLeftIndex(index)
  const rightIndex = this.getRightIndex(index)
  if (this.heap[leftIndex] < this.heap[index]){
    this.swap(leftIndex, index)
    this.shiftDown(leftIndex)
  }
  if (this.heap[rightIndex] < this.heap[index]){
    this.swap(rightIndex, index)
    this.shiftDown(rightIndex)
  }
}

時間複雜度

關於堆的插入和刪除時間複雜度都是Olog(n)，原因在於包含n個節點的完全二叉樹，樹的高度不會超過log2n

堆化的過程是順著節點所在路徑比較交換的，所以堆化的時間複雜度跟樹的高度成正比，也就是Olog(n)，插入資料和刪除堆頂元素的主要邏輯就是堆化

三、總結

  • 堆是一個完全二叉樹
  • 堆中每一個節點的值都必須大於等於(或小於等於)其子樹中每個節點的值
  • 對於每個節點的值都大於等於子樹中每個節點值的堆，叫作“大頂堆”
  • 對於每個節點的值都小於等於子樹中每個節點值的堆，叫作“小頂堆”
  • 根據堆的特性，我們可以使用堆來進行排序操作，也可以使用其來求第幾大或者第幾小的值

參考文獻

  • https://baike.baidu.com/item/%E5%A0%86/20606834
  • https://xlbpowder.cn/2021/02/26/%E5%A0%86%E5%92%8C%E5%A0%86%E6%8E%92%E5%BA%8F/

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