有趣的演算法

青蛙跳臺問題

現在一共有n個臺階，一隻青蛙每次只能跳一階或是兩階，那麼一共有多少種跳到頂端的方案？

例如n=2，那麼一共有兩種方案，一次性跳兩階或是每次跳一階。

現在請你設計一個Java程式，計算當臺階數為n的情況下，能夠有多少種方案到達頂端。

解決方法

假設青蛙已經站在了頂端（n），那麼它的前一個臺階是那個呢？要麼是第n-1階臺階，要麼是第n-2階臺階。

那麼到達第n階臺階所需的方案是不是就等於到達第n-1階臺階的方案數加上到達第n-2階臺階的方案數。

即f(n) = f(n-1) + f(n-2)

Java實現程式碼

public static int steps(int n) {
    //判斷0臺階的情況
    if (n == 0) {
        return 0;
    }
    //判斷1階臺階的情況
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    //判斷2階臺階的情況
    if (n == 2) {
        return 2;
    }
    //遞迴呼叫
    return steps(n-1) + steps(n-2);
}

漢諾塔問題

漢諾塔（Tower of Hanoi），又稱河內塔，是一個源於印度古老傳說的益智玩具。大梵天創造世界的時候做了三根金剛石柱子，在一根柱子上從下往上按照大小順序摞著64片黃金圓盤。大梵天命令婆羅門把圓盤從下面開始

按大小順序重新擺放在另一根柱子上。並且規定，在小圓盤上不能放大圓盤，在三根柱子之間一次只能移動一個圓盤。

問題：這三根柱子我們就依次命名為A、B、C，現在請你設計一個Java程式，計算N階（n片圓盤）漢諾塔移動操作的每一步。

解決方案

• 只有一個圓盤的時候，可以直接把圓盤從A移到C（記作A--->C）

• 當有兩個圓盤時，必須要把第一個移到B（A--->B），再把第二個移到C(A--->C)，最後再把第一個圓盤從B移到C（B--->C）

• 當有三個圓盤時...

  一個圓盤一個圓盤的考慮太複雜，那麼能不能只考慮只有兩部分的情況（最後一個圓盤（記作@）和除它之外的所有圓盤（記作#）），也就是相當於第二種情況。先把#移動到B柱（中間過程先不考慮），再把@移動到C柱。

  把@移動到C柱之後，以後所有的操作都在與它無關（暫時認為沒有它了），這時把B柱和A柱交換位置，那麼情況是不是又回到了（最後一個圓盤（記作@）和除它之外的所有圓盤（記作#））這種情況，我們重複上面的步驟。每重複一次，就相當於從剩餘需要移動的圓盤中挑出最大的扔掉，那麼最後又回到了只有一個圓盤的情況，那這不就好辦了嗎，直接把最後一個扔過去

  Java實現程式碼

  //把n個圓盤從A移到C
  public static void tower(int n, String a, String b, String c) {
      //只有一個圓盤的情況
      if (n == 1) {
          System.out.println(a + "--->" + c);
      } else {
          //把n-1個圓盤丟到B柱上
          tower(n-1, a, c, b);
          //把剩下的移到C柱上
          System.out.println(a + "--->" + c);
          //對於現在B柱上的圓盤，先把A柱和B柱交換位置，
          //問題就變成了把n-1個圓盤從A移動到C
          tower(n-1, b, a, c);
      }
  
  }